Turunan fungsi f(x)=akar(sin^2 (3x-3)) adalah

$3\cos(3x-3)$

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari fungsi $f(x) = \sqrt{\sin^2(3x-3)}$, kita perlu menggunakan aturan berantai (chain rule) beberapa kali.

Fungsi ini dapat ditulis ulang sebagai $f(x) = (\sin^2(3x-3))^{1/2}$.

Langkah 1: Turunan fungsi pangkat.
Misalkan $u = \sin^2(3x-3)$. Maka $f(u) = u^{1/2}$.
Turunan $f(u)$ terhadap $u$ adalah $f'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\sin^2(3x-3)}} = \frac{1}{2|\sin(3x-3)|}$.

Langkah 2: Turunan fungsi kuadrat sinus.
Sekarang kita perlu mencari turunan dari $u = \sin^2(3x-3)$. Misalkan $v = \sin(3x-3)$. Maka $u = v^2$.
Turunan $u$ terhadap $v$ adalah $\frac{du}{dv} = 2v = 2\sin(3x-3)$.

Langkah 3: Turunan fungsi sinus.
Sekarang kita perlu mencari turunan dari $v = \sin(3x-3)$. Misalkan $w = 3x-3$. Maka $v = \sin(w)$.
Turunan $v$ terhadap $w$ adalah $\frac{dv}{dw} = \cos(w) = \cos(3x-3)$.

Langkah 4: Turunan fungsi linear.
Terakhir, kita perlu mencari turunan dari $w = 3x-3$.
Turunan $w$ terhadap $x$ adalah $\frac{dw}{dx} = 3$.

Langkah 5: Menggabungkan semua turunan menggunakan aturan berantai.
$f'(x) = \frac{df}{du} \times \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx}$
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin^2(3x-3)}} \times (2\sin(3x-3)) \times \cos(3x-3) \times 3$

Perhatikan bahwa $\sqrt{\sin^2(3x-3)} = |\sin(3x-3)|$. Jadi,
$f'(x) = \frac{1}{2|\sin(3x-3)|} \times 2\sin(3x-3) \times \cos(3x-3) \times 3$

Jika kita mengasumsikan bahwa $\sin(3x-3) > 0$, maka $|\sin(3x-3)| = \sin(3x-3)$.
$f'(x) = \frac{1}{2\sin(3x-3)} \times 2\sin(3x-3) \times \cos(3x-3) \times 3$
$f'(x) = 1 \times \cos(3x-3) \times 3$
$f'(x) = 3\cos(3x-3)$

Namun, karena adanya nilai absolut, jawabannya bisa berbeda tergantung pada interval $x$.
Jika $\sin(3x-3) < 0$, maka $|\sin(3x-3)| = -\sin(3x-3)$.
$f'(x) = \frac{1}{2(-\sin(3x-3))} \times 2\sin(3x-3) \times \cos(3x-3) \times 3$
$f'(x) = -1 \times \cos(3x-3) \times 3$
$f'(x) = -3\cos(3x-3)$

Jadi, turunan fungsi $f(x) = \sqrt{\sin^2(3x-3)}$ adalah $3\cos(3x-3)$ ketika $\sin(3x-3) > 0$, dan $-3\cos(3x-3)$ ketika $\sin(3x-3) < 0$. Ini dapat ditulis sebagai $f'(x) = 3 \mathrm{sgn}(\sin(3x-3)) \cos(3x-3)$, di mana $\mathrm{sgn}$ adalah fungsi signum.

Namun, jika kita menyederhanakan $\sqrt{\sin^2(3x-3)}$ menjadi $|\sin(3x-3)|$, maka turunannya adalah $3\cos(3x-3)$ ketika $\sin(3x-3) > 0$ dan $-3\cos(3x-3)$ ketika $\sin(3x-3) < 0$.

Dalam banyak konteks ujian, jika tidak ditentukan intervalnya, jawaban yang paling umum diterima adalah dengan mengasumsikan $\sin(3x-3)$ positif atau menggunakan identitas $\frac{d}{dx}(\sin^2 u) = 2 \sin u \cos u \frac{du}{dx}$.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih sederhana dengan identitas trigonometri:
$f(x) = \sqrt{\sin^2(3x-3)} = |\sin(3x-3)|$.
Turunan dari $|\sin(u)|$ adalah $\mathrm{sgn}(\sin u) \cos u \frac{du}{dx}$.
Di sini $u = 3x-3$, jadi $\frac{du}{dx} = 3$.
Maka, $f'(x) = \mathrm{sgn}(\sin(3x-3)) \cos(3x-3) \times 3 = 3 \mathrm{sgn}(\sin(3x-3)) \cos(3x-3)$.

Jika kita mengabaikan nilai absolut dan hanya menurunkan $\sin(3x-3)$ di dalam akar, maka:
$f(x) = (\sin(3x-3))^{1/2}$ (ini salah karena akar dari kuadrat adalah nilai absolut)

Mari kita kembali ke:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin^2(3x-3)}} \times (2\sin(3x-3)) \times \cos(3x-3) \times 3$
$f'(x) = \frac{2 \sin(3x-3) \cos(3x-3)}{2 |\sin(3x-3)|} \times 3$
$f'(x) = \frac{\sin(6x-6)}{2 |\sin(3x-3)|} \times 3$

Jawaban yang paling tepat adalah $3\cos(3x-3)$ dengan asumsi $\sin(3x-3)$ positif, atau $3 \mathrm{sgn}(\sin(3x-3)) \cos(3x-3)$. Dalam banyak kasus, jawaban yang diharapkan adalah $3\cos(3x-3)$.