Untuk 0<x<pi penyelesian dari pertidaksamaan |cos x|<sin x

pi/4 < x < 3pi/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan |cos x| < sin x pada interval 0 < x < pi, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan tanda cos x:

**Kasus 1: cos x ">=" 0**
Ini terjadi pada interval 0 < x <= pi/2. Dalam kasus ini, |cos x| = cos x.
Pertidaksamaan menjadi: cos x < sin x
Kita bisa membagi kedua sisi dengan cos x (karena cos x > 0 di interval ini, arah pertidaksamaan tidak berubah):
1 < tan x
Mengetahui bahwa tan x = 1 pada x = pi/4, dan tan x meningkat pada kuadran I, maka tan x > 1 untuk pi/4 < x <= pi/2.
Jadi, solusi untuk kasus ini adalah pi/4 < x <= pi/2.

**Kasus 2: cos x "<" 0**
Ini terjadi pada interval pi/2 < x < pi. Dalam kasus ini, |cos x| = -cos x.
Pertidaksamaan menjadi: -cos x < sin x
Pindahkan cos x ke sisi kanan:
0 < sin x + cos x
Untuk menyelesaikan sin x + cos x > 0, kita bisa mengubahnya menjadi bentuk R sin(x + alpha) atau R cos(x - alpha).
Misalkan sin x + cos x = R sin(x + alpha) = R(sin x cos alpha + cos x sin alpha).
Menyamakan koefisien: R cos alpha = 1 dan R sin alpha = 1.
Maka R^2 (cos^2 alpha + sin^2 alpha) = 1^2 + 1^2 
=> R^2(1) = 2 
=> R = sqrt(2).
Dan tan alpha = (R sin alpha) / (R cos alpha) = 1/1 = 1, sehingga alpha = pi/4.
Jadi, sin x + cos x = sqrt(2) sin(x + pi/4).
Pertidaksamaan menjadi: sqrt(2) sin(x + pi/4) > 0
=> sin(x + pi/4) > 0
Karena pi/2 < x < pi, maka pi/2 + pi/4 < x + pi/4 < pi + pi/4
=> 3pi/4 < x + pi/4 < 5pi/4
Dalam interval (3pi/4, 5pi/4), sin(theta) > 0 ketika 0 < theta < pi.
Jadi, kita perlu 0 < x + pi/4 < pi.
Kurangi semua bagian dengan pi/4:
-pi/4 < x < 3pi/4.
Namun, kita perlu mempertimbangkan interval asli kasus ini, yaitu pi/2 < x < pi. Irisan dari (-pi/4, 3pi/4) dengan (pi/2, pi) adalah pi/2 < x < 3pi/4.
Jadi, solusi untuk kasus ini adalah pi/2 < x < 3pi/4.

**Menggabungkan kedua kasus:**
Solusi dari Kasus 1 adalah pi/4 < x <= pi/2.
Solusi dari Kasus 2 adalah pi/2 < x < 3pi/4.

Menggabungkan kedua interval ini, kita mendapatkan pi/4 < x < 3pi/4.

Penting juga untuk memastikan bahwa sin x positif dalam interval 0 < x < pi, yang memang benar. Namun, kita harus memastikan bahwa sin x tidak nol karena kita tidak ingin membagi dengan nol jika kita melakukan manipulasi aljabar yang melibatkan tan x. Di interval 0 < x < pi, sin x hanya nol di x=0 dan x=pi, yang berada di luar interval terbuka yang kita pertimbangkan.