Buktikan setiap pernyataan berikut menggunakan induksi

Dengan induksi matematika, basis induksi (n=1) benar. Asumsikan benar untuk n=k, maka dibuktikan benar untuk n=k+1, sehingga terbukti.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan "Jika x dan y bilangan bulat maka (x^n - y^n) habis dibagi (x-y) untuk setiap n bilangan asli" menggunakan induksi matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi**
Untuk n = 1, kita periksa apakah (x¹ - y¹) habis dibagi (x-y).
(x - y) habis dibagi (x-y) karena (x - y) / (x - y) = 1, yang merupakan bilangan bulat.
Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

**Langkah 2: Asumsi Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu (x^k - y^k) habis dibagi (x-y). Ini berarti (x^k - y^k) = m(x-y) untuk suatu bilangan bulat m.

**Langkah 3: Langkah Induktif**
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu (x^(k+1) - y^(k+1)) habis dibagi (x-y).

Perhatikan ekspresi x^(k+1) - y^(k+1):

x^(k+1) - y^(k+1) = x^(k+1) - x*y^k + x*y^k - y^(k+1)
= x(x^k - y^k) + y^k(x - y)

Berdasarkan asumsi induksi, (x^k - y^k) habis dibagi (x-y), sehingga (x^k - y^k) = m(x-y) untuk suatu bilangan bulat m.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:

x^(k+1) - y^(k+1) = x(m(x-y)) + y^k(x - y)
= m*x*(x-y) + y^k(x - y)
= (x-y) [m*x + y^k]

Karena m, x, y, dan k adalah bilangan bulat, maka (m*x + y^k) juga merupakan bilangan bulat. 
Ini menunjukkan bahwa x^(k+1) - y^(k+1) adalah kelipatan dari (x-y), atau dengan kata lain, (x^(k+1) - y^(k+1)) habis dibagi (x-y).

**Kesimpulan**
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa (x^n - y^n) habis dibagi (x-y) untuk setiap n bilangan asli adalah benar.