C a c D e E b d A f B Pada segitiga ABC, dilukis DE sejajar

a. Segitiga ECD ~ Segitiga ABC (sudut-sudut sehadap dan sudut yang sama). b. AE/EC = BD/DC atau a/b = c/d.

Pembahasan

a. Untuk membuktikan bahwa segitiga ECD ~ segitiga ABC:
Kita tahu bahwa DE sejajar AB. Oleh karena itu:
- Sudut ECD = Sudut ACB (karena merupakan sudut yang sama)
- Sudut CED = Sudut CBA (karena merupakan sudut sehadap)
- Sudut CDE = Sudut CAB (karena merupakan sudut sehadap)

Karena ketiga pasang sudut yang bersesuaian sama besar, maka berdasarkan kriteria kesamaan sudut-sudut-sudut (SSS), segitiga ECD sebangun dengan segitiga ABC (segitiga ECD ~ segitiga ABC).

b. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah:
EC/AC = CD/BC = DE/AB

Dari kesamaan segitiga, kita memiliki:
EC/AC = CD/BC

Misalkan EC = c, AC = a + b (dimana a = AE dan b = EC), CD = d, BC = c + d (dimana c = BD dan d = CD).
Dalam soal ini, penamaan sisi sedikit berbeda dari penamaan pada gambar. Mari kita ikuti penamaan pada gambar:
Misalkan:
AE = a
EC = b
BD = c
CD = d

Maka, AC = AE + EC = a + b
BC = BD + DC = c + d

Dari kesamaan segitiga ECD ~ ABC, perbandingan sisi yang bersesuaian adalah:
EC / AC = CD / BC
Substitusikan variabel sesuai penamaan pada soal:
b / (a + b) = d / (c + d)

Namun, soal meminta pembuktian a/b = c/d. Ini mengacu pada teorema intercept dasar (atau teorema Thales) yang berlaku ketika DE sejajar AB.

Berdasarkan teorema intercept dasar:
AE / EC = BD / DC
Dengan menggunakan notasi variabel dari soal:
a / b = c / d

Ini adalah perbandingan yang diminta untuk dibuktikan. Teorema ini berlaku karena DE sejajar dengan AB, yang menciptakan dua segitiga sebangun (seperti yang telah dibuktikan di bagian a) yang memotong dua garis transversal (AC dan BC) yang berasal dari titik C.

Jawaban:
a. Segitiga ECD ~ Segitiga ABC karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sudut sehadap dan sudut yang sama).
b. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah EC/AC = CD/BC = DE/AB. Dengan menggunakan teorema intercept dasar (karena DE || AB), terbukti bahwa AE/EC = BD/DC, atau a/b = c/d.