Untuk setiap buku baru yang datang, seorang pustakawan

90 kemungkinan urutan

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi karena urutan pengerjaan buku penting dan setiap buku berbeda.

Pustakawan memiliki dua tugas untuk setiap buku: menempel label nomor dan menyampul buku. Agar label nomor tidak cepat rusak, proses penyampulan harus dilakukan setelah menempel label nomornya. Ini berarti untuk setiap buku, ada urutan pengerjaan yang spesifik: "label" diikuti oleh "sampul".

Ada tiga buku baru yang berbeda, mari kita sebut Buku 1, Buku 2, dan Buku 3.

Untuk setiap buku, ada 2 langkah: L (Label) dan S (Sampul). Urutannya harus L lalu S.
Jadi, untuk Buku 1, urutannya adalah L1, S1.
Untuk Buku 2, urutannya adalah L2, S2.
Untuk Buku 3, urutannya adalah L3, S3.

Kita perlu menentukan berapa banyak kemungkinan urutan dari keenam proses ini (L1, S1, L2, S2, L3, S3) dengan syarat bahwa Li harus selalu sebelum Si untuk setiap i=1, 2, 3.

Ini adalah masalah permutasi di mana kita mengatur 6 item, tetapi dengan batasan urutan internal untuk setiap pasang item (buku).

Cara paling mudah untuk memahaminya adalah dengan memikirkan total urutan 6 proses tanpa batasan, yaitu 6! (6 faktorial).
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

Namun, karena untuk setiap buku, urutan L dan S sudah pasti (L harus sebelum S), ini berarti dari setiap 2! (yaitu 2) kemungkinan urutan untuk pasangan (Li, Si), hanya 1 yang valid. 

Dalam kasus 3 buku, kita memiliki 3 pasang (L1, S1), (L2, S2), (L3, S3). 

Cara lain melihatnya adalah sebagai berikut: Ada 6 slot waktu untuk 6 proses. Kita perlu memilih 3 slot untuk proses pelabelan (L1, L2, L3). Setelah kita memilih 3 slot untuk pelabelan, slot sisanya secara otomatis akan diisi oleh proses penyampulan (S1, S2, S3) dalam urutan yang sesuai dengan labelnya.

Jumlah cara memilih 3 slot dari 6 slot adalah kombinasi C(6, 3).
$C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$.

Setelah kita memilih slot untuk pelabelan, urutan pelabelan itu sendiri (misalnya L1, L2, L3 atau L2, L1, L3, dll.) juga dapat diatur dalam 3! cara. Dan urutan penyampulan juga dapat diatur dalam 3! cara. Namun, batasan soal adalah 'proses penyampulan suatu buku harus dilakukan setelah menempel label nomornya', yang berarti L1 harus sebelum S1, L2 sebelum S2, dan L3 sebelum S3.

Dengan memilih 3 posisi untuk semua proses label (misalnya, posisi ke-1, ke-3, ke-4), maka posisi ke-2, ke-5, ke-6 harus untuk proses sampul. Lebih penting lagi, label untuk buku ke-1 harus mendahului sampul buku ke-1, dan seterusnya.

Ini adalah contoh dari permutasi dengan objek yang berulang atau masalah penataan urutan dengan kendala.

Jika kita memiliki 6 tugas, tetapi tugas L1 harus sebelum S1, L2 sebelum S2, L3 sebelum S3, maka kita bisa memikirkan ini sebagai memilih 3 posisi untuk tugas 'L' dari 6 posisi yang tersedia. Setelah posisi 'L' dipilih, posisi 'S' ditentukan oleh buku yang sama.

Misalnya, urutan prosesnya adalah _ _ _ _ _ _.
Kita pilih 3 posisi untuk L1, L2, L3. Ada C(6,3) cara memilih posisi tersebut.
Misalnya kita pilih posisi 1, 3, 5 untuk L1, L2, L3. Maka kita bisa menempatkan L1, L2, L3 dalam 3! cara di posisi ini.
Sisa posisi 2, 4, 6 untuk S1, S2, S3. Kita bisa menempatkan S1, S2, S3 dalam 3! cara.

Namun, syaratnya adalah L1 harus sebelum S1. 

Mari kita anggap 6 tugas sebagai T1, T2, T3, T4, T5, T6.
Kita membagi tugas ini menjadi 3 pasangan:
(L1, S1), (L2, S2), (L3, S3)

Kita akan mengatur 6 tugas ini dalam urutan. Total ada 6! = 720 urutan jika semua tugas berbeda.

Karena untuk setiap buku, urutan L harus sebelum S, maka untuk pasangan (L, S), ada 2 kemungkinan urutan: LS atau SL. Hanya LS yang valid.

Jadi, dari total 6! urutan, setengahnya akan memiliki L sebelum S untuk buku 1, setengahnya akan memiliki S sebelum L untuk buku 1. Ini berarti 6!/2! = 720/2 = 360 urutan dimana L1 sebelum S1.

Selanjutnya, kita juga harus memastikan L2 sebelum S2. Dari 360 urutan tersebut, setengahnya akan memiliki L2 sebelum S2, dan setengahnya S2 sebelum L2. Jadi, 360 / 2! = 360 / 2 = 180 urutan.

Terakhir, kita harus memastikan L3 sebelum S3. Dari 180 urutan tersebut, setengahnya akan memiliki L3 sebelum S3, dan setengahnya S3 sebelum L3. Jadi, 180 / 2! = 180 / 2 = 90 urutan.

Jadi, banyak kemungkinan urutan pengerjaan yang dapat dilakukan adalah 90.