Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukan dalam interval

Fungsi selalu naik pada (2, ∞). Fungsi tidak pernah turun pada (2, ∞).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi k(x) = x * sqrt(x-2) selalu naik atau tidak pernah naik, kita perlu menganalisis turunan pertama dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Tentukan domain fungsi.
Agar fungsi terdefinisi, x - 2 harus lebih besar dari atau sama dengan 0, sehingga x >= 2. Domainnya adalah [2, ∞).

Langkah 2: Cari turunan pertama k'(x).
Menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai:
k'(x) = (1 * sqrt(x-2)) + (x * (1 / (2 * sqrt(x-2))))
k'(x) = sqrt(x-2) + x / (2 * sqrt(x-2))
Untuk menyederhanakan, samakan penyebutnya:
k'(x) = (2 * (x-2) + x) / (2 * sqrt(x-2))
k'(x) = (2x - 4 + x) / (2 * sqrt(x-2))
k'(x) = (3x - 4) / (2 * sqrt(x-2))

Langkah 3: Tentukan interval fungsi naik.
Fungsi naik ketika k'(x) > 0.
(3x - 4) / (2 * sqrt(x-2)) > 0
Karena penyebut (2 * sqrt(x-2)) selalu positif untuk x > 2, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya:
3x - 4 > 0
3x > 4
x > 4/3

Namun, kita harus mempertimbangkan domain fungsi, yaitu x >= 2. Oleh karena itu, fungsi k(x) selalu naik pada interval (2, ∞).

Langkah 4: Tentukan interval fungsi tidak pernah naik (turun).
Fungsi turun ketika k'(x) < 0.
(3x - 4) / (2 * sqrt(x-2)) < 0
Ini tidak akan terjadi pada domain fungsi karena pembilang (3x-4) positif untuk x > 4/3 dan penyebut selalu positif untuk x > 2. Jadi, fungsi tidak pernah turun pada domainnya.

Kesimpulan:
Kurva fungsi k(x) = x * sqrt(x-2) selalu naik pada interval (2, ∞).
Kurva fungsi tidak pernah naik (tidak pernah turun) pada interval (2, ∞).