Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita

Penyusun 2005 adalah 2, 3, 4, 5, 7, 13, 168, 335, 502, 669, 1003, dan 2005.

Pembahasan

Diberikan operasi a*b = ab + a - b, dan x adalah penyusun n jika ada y sehingga x*y = n.
Kita perlu mencari semua bilangan asli x yang merupakan penyusun 2005.
Ini berarti kita mencari x sehingga terdapat bilangan asli y yang memenuhi:
x*y = 2005
xy + x - y = 2005
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa memanipulasinya:
xy + x - y - 1 = 2005 - 1
x(y + 1) - 1(y + 1) = 2004
(x - 1)(y + 1) = 2004
Karena x dan y adalah bilangan asli, maka x ≥ 1 dan y ≥ 1.
Dari persamaan (x - 1)(y + 1) = 2004:
x - 1 haruslah faktor dari 2004.
Karena y ≥ 1, maka y + 1 ≥ 2.
Ini berarti x - 1 adalah faktor dari 2004, dan x - 1 ≥ 0 (karena x ≥ 1).
Juga, y + 1 adalah faktor dari 2004, dan y + 1 ≥ 2.
Kita perlu mencari faktor-faktor dari 2004.
2004 = 1 * 2004 = 2 * 1002 = 3 * 668 = 4 * 501 = 6 * 334 = 12 * 167.
Faktor-faktor dari 2004 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002, 2004.

Sekarang kita lihat hubungan x - 1 dan y + 1:
1. Jika x - 1 = 1, maka x = 2. y + 1 = 2004, maka y = 2003. (x=2, y=2003 adalah bilangan asli)
2. Jika x - 1 = 2, maka x = 3. y + 1 = 1002, maka y = 1001. (x=3, y=1001 adalah bilangan asli)
3. Jika x - 1 = 3, maka x = 4. y + 1 = 668, maka y = 667. (x=4, y=667 adalah bilangan asli)
4. Jika x - 1 = 4, maka x = 5. y + 1 = 501, maka y = 500. (x=5, y=500 adalah bilangan asli)
5. Jika x - 1 = 6, maka x = 7. y + 1 = 334, maka y = 333. (x=7, y=333 adalah bilangan asli)
6. Jika x - 1 = 12, maka x = 13. y + 1 = 167, maka y = 166. (x=13, y=166 adalah bilangan asli)

Kita juga perlu mempertimbangkan kasus di mana x - 1 adalah faktor yang lebih besar, yang berarti y + 1 adalah faktor yang lebih kecil. Namun, kita harus memastikan y + 1 ≥ 2.

7. Jika x - 1 = 167, maka x = 168. y + 1 = 12, maka y = 11. (x=168, y=11 adalah bilangan asli)
8. Jika x - 1 = 334, maka x = 335. y + 1 = 6, maka y = 5. (x=335, y=5 adalah bilangan asli)
9. Jika x - 1 = 501, maka x = 502. y + 1 = 4, maka y = 3. (x=502, y=3 adalah bilangan asli)
10. Jika x - 1 = 668, maka x = 669. y + 1 = 3, maka y = 2. (x=669, y=2 adalah bilangan asli)
11. Jika x - 1 = 1002, maka x = 1003. y + 1 = 2, maka y = 1. (x=1003, y=1 adalah bilangan asli)
12. Jika x - 1 = 2004, maka x = 2005. y + 1 = 1. Tetapi y+1 harus ≥ 2, jadi kasus ini tidak valid.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi adalah 2, 3, 4, 5, 7, 13, 168, 335, 502, 669, 1003, dan 2005.