Untuk x>0, y>0, z>0, x =/= 1, y =/= 1, z =/= 1, tunjukkan

Pembuktian tidak dapat dilakukan dengan soal yang diberikan karena tidak ada sifat logaritma umum yang sesuai.

Pembahasan

Kita perlu menunjukkan bahwa $\frac{1}{xy\log(xyz)} + \frac{1}{yz\log(xyz)} + \frac{1}{xz\log(xyz)} = 2$, untuk x > 0, y > 0, z > 0, dan x, y, z \u2260 1.\nKita dapat menggunakan sifat perubahan basis logaritma: $\frac{1}{^a \log b} = ^b \log a$.\nMenerapkan sifat ini pada setiap suku di sisi kiri persamaan:\nSuku pertama: $\frac{1}{xy\log(xyz)} = {^{xyz} \log(xy)}$ (dengan asumsi logaritma berbasis 10 atau e, dan xy adalah basis logaritma jika tidak dinyatakan lain. Namun, interpretasi yang lebih umum dalam konteks soal seperti ini adalah logaritma dengan basis tertentu, misalnya $b$, dan xy serta xyz adalah argumennya. Jika logaritma memiliki basis yang sama, katakanlah basis $b$, maka $\frac{1}{xy \log_b (xyz)} $. Jika kita menganggap 'log' tanpa basis berarti basis 10, maka $\frac{1}{xy 	extbackslash log_{10}(xyz)}$. Namun, jika kita menafsirkan $\log(xyz)$ sebagai bagian dari basis, $\log_{xyz}$, maka $\frac{1}{xy \log_{xyz} (xyz)}$ menjadi $\frac{1}{xy \cdot 1} = \frac{1}{xy}$. Ini juga tidak terlihat benar.\nInterpretasi yang paling mungkin adalah $\log(xyz)$ memiliki basis yang sama di semua suku, dan kita dapat menggunakan sifat $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.\nJadi, jika kita menganggap $\log(xyz)$ adalah $\log_b(xyz)$ untuk suatu basis $b$ yang sama.\n$\frac{1}{xy\log_b(xyz)} = \frac{1}{xy} \log_{xyz}(b)$\nIni juga tidak membantu.\n\nMari kita coba interpretasi lain: $\log(xyz)$ adalah sebuah konstanta, dan basis logaritma adalah $xy$, $yz$, $xz$ secara berturut-turut.\n$\frac{1}{xy} \cdot \frac{1}{\log(xyz)} + \frac{1}{yz} \cdot \frac{1}{\log(xyz)} + \frac{1}{xz} \cdot \frac{1}{\log(xyz)}$\nIni juga tidak tepat.\n\nInterpretasi yang paling masuk akal adalah $\log$ memiliki basis yang sama, katakanlah basis 10 atau $e$. Dan kita perlu menggunakan sifat:\n$\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$\ndan $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$. Sifat perubahan basis.\n$\frac{1}{\log(xyz)} \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} \right)$\nSamakan penyebut di dalam kurung:\n$\frac{1}{\log(xyz)} \left( \frac{z}{xyz} + \frac{x}{xyz} + \frac{y}{xyz} \right)$\n$\frac{1}{\log(xyz)} \left( \frac{x+y+z}{xyz} \right)$\nIni tidak menghasilkan 2.\n\nMari kita gunakan sifat $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ dengan asumsi basis logaritma adalah $b$, dan kita ingin membuktikan:\n$\log_{xyz}(xy) + \log_{xyz}(yz) + \log_{xyz}(xz) = 2$? Ini juga tidak benar.\n\nCoba kita ubah basis logaritma ke basis yang sama, misalnya $xyz$.\nKita tahu $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.\n$\frac{1}{xy} \log_{xyz} (b) + \frac{1}{yz} \log_{xyz} (b) + \frac{1}{xz} \log_{xyz} (b)$ ? Ini jika $\log(xyz)$ adalah basisnya.\n\nJika soalnya adalah:\n$\frac{1}{\log_{xyz} xy} + \frac{1}{\log_{xyz} yz} + \frac{1}{\log_{xyz} xz} = 2$? Maka:\n$\log_{xy} xyz + \log_{yz} xyz + \log_{xz} xyz = 2$. Ini juga tidak benar.\n\nMari kita coba asumsi bahwa 'log' merujuk pada logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log10), dan kita perlu mengubah basis logaritma pada penyebut.\nSifat: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.\nMaka $\frac{1}{\log_c (xyz)}$ ada di penyebut.\n$\frac{1}{xy} \frac{1}{\log_c (xyz)} + \frac{1}{yz} \frac{1}{\log_c (xyz)} + \frac{1}{xz} \frac{1}{\log_c (xyz)}$\n$\frac{1}{\log_c (xyz)} (\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz})$\n$\frac{1}{\log_c (xyz)} (\frac{z+x+y}{xyz})$\nIni masih belum mengarah ke 2.\n\nKemungkinan ada kesalahan dalam soal atau interpretasi. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ada sifat logaritma yang relevan atau identitas yang terlewat:\nSatu kemungkinan adalah jika kita menggunakan $\log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = \log_{abc} (abc) = 1$. Tapi ini tidak ada di soal.\n\nJika soalnya adalah $\frac{1}{\log_{xyz} x} + \frac{1}{\log_{xyz} y} + \frac{1}{\log_{xyz} z}$\nMaka akan menjadi $\log_x xyz + \log_y xyz + \log_z xyz$. Ini juga tidak sama dengan 2.\n\nMari kita coba manipulasi aljabar pada ekspresi di dalam kurung: $\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{z+x+y}{xyz}$.\nJadi, kita perlu menunjukkan $\frac{x+y+z}{xyz \log(xyz)} = 2$.\nIni hanya benar jika $x+y+z = 2xyz \log(xyz)$, yang sangat spesifik dan tidak umum.\n\nAda kemungkinan soalnya adalah:\n$\frac{\log(x)}{\log(xyz)} + \frac{\log(y)}{\log(xyz)} + \frac{\log(z)}{\log(xyz)} = \frac{\log(x)+\log(y)+\log(z)}{\log(xyz)} = \frac{\log(xyz)}{\log(xyz)} = 1$. Ini juga bukan 2.\n\nJika soalnya adalah:\n$\frac{1}{\log_x xyz} + \frac{1}{\log_y xyz} + \frac{1}{\log_z xyz}$\nMenggunakan $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$: \n$\log_{xyz} x + \log_{xyz} y + \log_{xyz} z$\n$= \log_{xyz} (xyz) = 1$. Ini juga bukan 2.\n\nSatu-satunya cara agar ekspresi tersebut bernilai 2 adalah jika ada kesalahan ketik yang signifikan atau jika 'log' memiliki arti khusus dalam konteks ini. Misalkan jika x=y=z=10, maka $\frac{1}{100 \log(1000)} + \frac{1}{100 \log(1000)} + \frac{1}{100 \log(1000)} = \frac{3}{100 \log(1000)} = \frac{3}{100 \times 3} = \frac{1}{100}$. Ini salah.\n\nJika soalnya seharusnya $\frac{1}{\log_x (xyz)} + \frac{1}{\log_y (xyz)} + \frac{1}{\log_z (xyz)} = 1$, maka itu benar. Untuk mendapatkan 2, mungkin ada suku tambahan atau bentuk lain dari soal.\n\nDengan soal yang diberikan persis seperti itu, pembuktiannya tidak langsung. Namun, jika kita menafsirkan logaritma memiliki basis yang sama, dan menyederhanakan bagian aljabar,\n$\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{z+x+y}{xyz}$.\nMaka ekspresi menjadi $\frac{x+y+z}{xyz \log(xyz)}$.\nTidak ada cara umum untuk membuktikan ini sama dengan 2 tanpa asumsi tambahan atau koreksi pada soal.