Usia Anak Keluarga Pak Rhoma mempunyai 6 orang anak yang

69 tahun

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan barisan aritmetika. Diketahui bahwa usia 6 orang anak membentuk barisan aritmetika. Informasi yang diberikan adalah:
- Usia anak ke-3 ($U_3$) = 10 tahun
- Usia anak ke-5 ($U_5$) = 16 tahun

Kita perlu mencari jumlah usia keenam anak tersebut.

Langkah 1: Gunakan rumus suku ke-n barisan aritmetika, $U_n = a + (n-1)b$, di mana 'a' adalah suku pertama (usia anak tertua jika diurutkan dari tertua) dan 'b' adalah beda (selisih usia antar anak).

Dari informasi yang diberikan:
$U_3 = a + (3-1)b = a + 2b = 10$  (Persamaan 1)
$U_5 = a + (5-1)b = a + 4b = 16$  (Persamaan 2)

Langkah 2: Cari beda (b) dengan mengurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2.
$(a + 4b) - (a + 2b) = 16 - 10$
$2b = 6$
$b = 3$

Jadi, selisih usia antar anak adalah 3 tahun.

Langkah 3: Cari suku pertama (a) dengan mensubstitusikan nilai b ke salah satu persamaan. Gunakan Persamaan 1:
$a + 2b = 10$
$a + 2(3) = 10$
$a + 6 = 10$
$a = 4$

Jadi, usia anak tertua adalah 4 tahun. Barisan usianya adalah 4, 7, 10, 13, 16, 19.

Langkah 4: Hitung jumlah usia keenam anak menggunakan rumus jumlah suku ke-n barisan aritmetika, $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ atau $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$.
Kita perlu $S_6$ (jumlah usia 6 anak).
$S_6 = \frac{6}{2}(2a + (6-1)b)$
$S_6 = 3(2(4) + 5(3))$
$S_6 = 3(8 + 15)$
$S_6 = 3(23)$
$S_6 = 69$

Alternatif menggunakan $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$. Kita perlu mencari $U_6$ terlebih dahulu: $U_6 = a + 5b = 4 + 5(3) = 4 + 15 = 19$. 
$S_6 = \frac{6}{2}(4 + 19) = 3(23) = 69$.

Jadi, jumlah usia keenam anak Pak Rhoma tersebut adalah 69 tahun.