Volum suatu tabung adalah 200 pi cm^3. Hitunglah luas yang

6π(100)^(2/3) cm²

Pembahasan

Diketahui volume tabung V = 200π cm³.
Rumus volume tabung adalah V = πr²t, di mana r adalah jari-jari alas dan t adalah tinggi tabung.
Jadi, πr²t = 200π, yang menyederhanakan menjadi r²t = 200.

Luas permukaan tabung L diberikan oleh rumus L = 2πr² + 2πrt.
Kita ingin mencari luas terkecil dari tabung, yang berarti kita perlu mencari nilai minimum dari L.
Dari persamaan r²t = 200, kita dapat menyatakan t dalam r: t = 200/r².

Substitusikan t ke dalam rumus luas permukaan:
L(r) = 2πr² + 2πr(200/r²)
L(r) = 2πr² + 400π/r

Untuk mencari nilai minimum L, kita perlu mencari turunan pertama L terhadap r (L'(r)) dan menyamakannya dengan nol.
L'(r) = d/dr (2πr² + 400πr⁻¹)
L'(r) = 4πr - 400πr⁻²
L'(r) = 4πr - 400π/r²

Samakan L'(r) dengan nol:
4πr - 400π/r² = 0
4πr = 400π/r²
Kalikan kedua sisi dengan r²:
4πr³ = 400π
Bagi kedua sisi dengan 4π:
r³ = 100
r = ³√100 cm

Sekarang, kita cari nilai t menggunakan r³ = 100:
t = 200/r²
Kita juga bisa mencari hubungan antara r dan t saat L minimum. Dari L'(r) = 0, kita punya 4πr = 400π/r², atau r³ = 100. Maka, t = 200/r² = 2r³/r² = 2r. Jadi, tinggi tabung adalah dua kali jari-jarinya.

Sekarang, hitung luas terkecilnya menggunakan r = ³√100 dan t = 2r:
L = 2πr² + 2πrt
L = 2πr² + 2πr(2r)
L = 2πr² + 4πr²
L = 6πr²

Karena r³ = 100, maka r² = 100/r = 100/³√100. Ini sedikit rumit. Lebih mudah jika kita gunakan t = 2r pada rumus luas:
L = 2πr² + 2πr(2r) = 6πr².
Kita perlu menghitung r². Dari r³ = 100, kita bisa tulis r² = (100)^(2/3).
Jadi, L = 6π (100)^(2/3) cm².

Jika kita ingin nilai numerik, ³√100 ≈ 4.64.
L ≈ 6π (4.64)² ≈ 6π (21.53) ≈ 129.18π cm².

Cara lain untuk menghitung luas terkecil adalah dengan mensubstitusi r = ³√100 ke dalam L(r) = 2πr² + 400π/r.
L = 2π(100)^(2/3) + 400π/(100)^(1/3)
L = 2π(100)^(2/3) + 4π(100)/(100)^(1/3)
L = 2π(100)^(2/3) + 4π(100)^(2/3)
L = 6π(100)^(2/3) cm².

Jadi, luas terkecil dari tabung itu adalah 6π(100)^(2/3) cm².