x(2 x+1)<(x+1)^(2)-1

0 < x < 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan x(2x+1) < (x+1)^2 - 1, kita perlu menyederhanakan kedua sisi pertidaksamaan terlebih dahulu.

Sisi kiri:
x(2x+1) = 2x^2 + x

Sisi kanan:
(x+1)^2 - 1 = (x^2 + 2x + 1) - 1 = x^2 + 2x

Sekarang, kita masukkan kembali ke dalam pertidaksamaan:
2x^2 + x < x^2 + 2x

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat:
2x^2 - x^2 + x - 2x < 0
x^2 - x < 0

Faktorkan x:
x(x - 1) < 0

Untuk menemukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ini, kita cari akar-akarnya, yaitu ketika x(x - 1) = 0. Akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.

Karena ini adalah pertidaksamaan < 0, kita mencari interval di mana ekspresi tersebut negatif. Kita bisa menguji nilai di antara akar-akar tersebut:
- Jika x < 0 (misalnya x = -1): (-1)(-1 - 1) = (-1)(-2) = 2 (positif)
- Jika 0 < x < 1 (misalnya x = 0.5): (0.5)(0.5 - 1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 (negatif)
- Jika x > 1 (misalnya x = 2): (2)(2 - 1) = (2)(1) = 2 (positif)

Jadi, pertidaksamaan x^2 - x < 0 terpenuhi ketika 0 < x < 1.

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 1}.