X adalah variabel acak kontinu yang mangambil nilai antara

$P(X > 4) = \frac{11}{27}$.

Pembahasan

Diketahui $X$ adalah variabel acak kontinu yang mengambil nilai antara 2 dan 5. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) diberikan oleh $f(x) = \frac{2}{27}(x+1)$ untuk $2 \le x \le 5$, dan $f(x)=0$ di tempat lain.
Kita ingin mencari $P(X > 4)$.
Probabilitas suatu variabel acak kontinu untuk berada di atas nilai tertentu dihitung dengan mengintegralkan fungsi kepadatan probabilitas dari nilai tersebut hingga batas atas domain.
$P(X > 4) = \int_{4}^{5} f(x) dx$
$P(X > 4) = \int_{4}^{5} \frac{2}{27}(x+1) dx$
Keluarkan konstanta dari integral:
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \int_{4}^{5} (x+1) dx$
Integralkan $(x+1)$ terhadap $x$:
$\int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x$
Sekarang, evaluasi integral tentu dari 4 sampai 5:
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{4}^{5}$
Substitusi batas atas (5) dan batas bawah (4):
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \left( \frac{5^2}{2} + 5 \right) - \left( \frac{4^2}{2} + 4 \right) \right]$
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \left( \frac{25}{2} + 5 \right) - \left( \frac{16}{2} + 4 \right) \right]$
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \left( \frac{25}{2} + \frac{10}{2} \right) - \left( 8 + 4 \right) \right]$
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \frac{35}{2} - 12 \right]$
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \frac{35}{2} - \frac{24}{2} \right]$
$P(X > 4) = \frac{2}{27} \left[ \frac{11}{2} \right]$
$P(X > 4) = \frac{2 \times 11}{27 \times 2}$
$P(X > 4) = \frac{11}{27}$.