{ y>x^2-2x-8 y<= x+2

DHP di bawah garis y=x+2 dan di atas parabola y=x^2-2x-8, antara titik potong (-2,0) dan (5,7).

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Pertidaksamaan yang diberikan adalah:
1. y > x^2 - 2x - 8
2. y <= x + 2

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini, kita perlu mencari daerah himpunan penyelesaian (DHP) yang memenuhi kedua kondisi tersebut secara bersamaan.

Langkah 1: Analisis Pertidaksamaan Pertama (y > x^2 - 2x - 8)
Ini adalah pertidaksamaan kuadrat. Batasnya adalah parabola y = x^2 - 2x - 8.
Untuk menggambar parabola ini, kita bisa mencari:

Titik potong sumbu y: Jika x=0, y = 0^2 - 2(0) - 8 = -8. Titik (0, -8).

Titik potong sumbu x: Jika y=0, x^2 - 2x - 8 = 0.
Faktorkan: (x-4)(x+2) = 0.
Maka x = 4 atau x = -2. Titik (-2, 0) dan (4, 0).

Titik puncak: Sumbu simetri x = -b / 2a = -(-2) / (2*1) = 2 / 2 = 1.
Jika x = 1, y = 1^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9. Titik puncak (1, -9).

Karena pertidaksamaannya adalah y > x^2 - 2x - 8, maka daerah penyelesaian berada di atas parabola. Garis batas parabola digambar putus-putus karena menggunakan tanda '>'.

Langkah 2: Analisis Pertidaksamaan Kedua (y <= x + 2)
Ini adalah pertidaksamaan linear. Batasnya adalah garis lurus y = x + 2.
Untuk menggambar garis ini, kita bisa mencari:

Titik potong sumbu y: Jika x=0, y = 0 + 2 = 2. Titik (0, 2).
Titik potong sumbu x: Jika y=0, 0 = x + 2 => x = -2. Titik (-2, 0).

Karena pertidaksamaannya adalah y <= x + 2, maka daerah penyelesaian berada di bawah garis lurus. Garis batas digambar solid karena menggunakan tanda '<='.

Langkah 3: Mencari Titik Potong antara Batas Parabola dan Garis
Kita perlu mencari titik di mana y = x^2 - 2x - 8 berpotongan dengan y = x + 2.
Samakan kedua persamaan:
x^2 - 2x - 8 = x + 2
x^2 - 2x - x - 8 - 2 = 0
x^2 - 3x - 10 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 5)(x + 2) = 0.
Maka x = 5 atau x = -2.

Jika x = 5:
y = x + 2 = 5 + 2 = 7. Titik potong (5, 7).
Jika x = -2:
y = x + 2 = -2 + 2 = 0. Titik potong (-2, 0).

Titik potong antara batas parabola dan garis adalah (-2, 0) dan (5, 7).

Langkah 4: Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
DHP adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

Dari y > x^2 - 2x - 8, kita ambil daerah di atas parabola.
Dari y <= x + 2, kita ambil daerah di bawah garis lurus.

DHP adalah daerah yang dibatasi oleh bagian dari parabola y = x^2 - 2x - 8 (di atasnya) dan bagian dari garis y = x + 2 (di bawahnya), di antara titik potong (-2, 0) dan (5, 7).

Karena y > x^2 - 2x - 8, batas parabola tidak termasuk dalam DHP.
Karena y <= x + 2, batas garis termasuk dalam DHP.

Jadi, DHP adalah area di bawah garis y = x + 2 dan di atas parabola y = x^2 - 2x - 8, mencakup garis y = x + 2 tetapi tidak termasuk kurva y = x^2 - 2x - 8, di antara x = -2 dan x = 5.