a. Dari huruf-huruf pembentuk kata 'SELESAI', tentukan

a. 38. b. Daftar susunan huruf seperti di atas.

Pembahasan

Kata 'SELESAI' terdiri dari 7 huruf dengan huruf 'S' muncul 2 kali, 'E' muncul 2 kali, dan huruf 'L', 'A', 'I' masing-masing muncul 1 kali.

a. Menentukan banyak kemungkinan susunan huruf yang terdiri atas 2 huruf berbeda:
Kita perlu memilih 2 huruf yang berbeda dari 7 huruf yang ada, lalu menyusunnya. Ini adalah masalah permutasi dengan unsur berulang, tetapi karena kita memilih 2 huruf yang *berbeda*, kita dapat menganggapnya sebagai memilih 2 huruf dari 7 huruf unik terlebih dahulu, lalu mengaturnya. 

Cara termudah adalah dengan menghitung total susunan 2 huruf dari 7 huruf yang tersedia, dengan memperhatikan bahwa huruf yang sama tidak boleh dipilih dua kali dalam satu susunan.

Jumlah total huruf = 7.
Jumlah huruf yang berbeda untuk posisi pertama = 7.
Jumlah huruf yang berbeda untuk posisi kedua (setelah memilih satu) = 6.

Banyaknya susunan 2 huruf berbeda = P(7, 2) = 7! / (7-2)! = 7! / 5! = 7 * 6 = 42.

Atau, kita bisa memikirkan ini sebagai memilih 2 posisi dari 7 huruf (jika semua unik) dan mengaturnya. Namun, karena ada pengulangan huruf, kita perlu hati-hati. Pendekatan P(n, k) lebih cocok jika kita memilih k item dari n item *unik*. 

Mari kita daftar hurufnya: S1, E1, L, E2, S2, A, I.
Kita ingin memilih 2 huruf yang berbeda.
Kemungkinan pasangan huruf yang berbeda:
1. Pilih 2 huruf yang sama sekali berbeda (misal L dan A): Ada C(5, 2) cara memilih 2 jenis huruf dari {L, A, I, S, E} yang berbeda. Namun, S dan E muncul dua kali. 

Mari kita gunakan cara yang lebih langsung: Memilih 2 posisi dan mengisi hurufnya.

Kemungkinan 1: Kedua huruf berbeda dan bukan S atau E (misal L, A, I). Ada 3 huruf seperti ini. Pilih 2 dari 3, lalu susun: P(3, 2) = 3 * 2 = 6 susunan (LA, AL, LI, IL, AI, IA).

Kemungkinan 2: Satu huruf adalah S, satu lagi berbeda (bukan S). S dapat dipilih dalam 2 cara (S1 atau S2), tetapi karena kita hanya peduli hurufnya, kita anggap saja 'S'. Huruf lainnya bisa L, E, A, I (4 pilihan). Susunan bisa SL, LS, SE, ES, SA, AS, SI, IS. Karena S bisa S1 atau S2, maka 2 * 4 * 2! = 16 susunan.

Kemungkinan 3: Satu huruf adalah E, satu lagi berbeda (bukan E). E dapat dipilih dalam 2 cara (E1 atau E2), tetapi kita anggap saja 'E'. Huruf lainnya bisa S, L, A, I (4 pilihan). Susunan bisa ES, SE, EL, LE, EA, AE, EI, IE. Karena E bisa E1 atau E2, maka 2 * 4 * 2! = 16 susunan.

Kemungkinan 4: Satu huruf adalah S, satu lagi adalah E. S bisa S1/S2 (2), E bisa E1/E2 (2). Susunan: SE, ES. Total 2 * 2 * 2! = 8 susunan.

Total susunan: 6 + 16 + 16 + 8 = 46.

Metode yang lebih tepat: Jumlah permutasi dari n objek dengan beberapa objek yang sama adalah n! / (n1! n2! ...).
Kita ingin menyusun 2 huruf berbeda dari {S, E, L, A, I}. Jadi, kita memilih 2 huruf dari 5 jenis huruf unik.
Jika kita memilih L dan A, susunannya LA, AL (2).
Jika kita memilih S dan L, susunannya SL, LS (2).
Jika kita memilih S dan E, susunannya SE, ES (2).

Ini adalah masalah memilih 2 huruf berbeda dari 7 huruf dan menyusunnya. Gunakan P(n, k) jika objeknya unik. Jika ada duplikasi, kita perlu membaginya.

Cara yang paling mudah: Pilih 2 jenis huruf dari 5 jenis huruf unik (S, E, L, A, I), lalu susun.
Ada C(5, 2) cara memilih 2 jenis huruf yang berbeda = 10 pasangan jenis huruf.
Pasangan jenis huruf: (S,E), (S,L), (S,A), (S,I), (E,L), (E,A), (E,I), (L,A), (L,I), (A,I).

Untuk pasangan (S,L): Susunannya SL, LS. Karena S ada 2, tapi kita ambil satu S saja, jadi tetap 2.
Untuk pasangan (S,E): Susunannya SE, ES. Ada 2 S dan 2 E. Jadi S1E1, S1E2, S2E1, S2E2, E1S1, E1S2, E2S1, E2S2. Total 8 susunan.

Mari kita gunakan pendekatan permutasi standar karena kita memilih 2 *huruf berbeda*.
Total huruf unik yang bisa dipilih: S, E, L, A, I (ada 5 jenis).
Kita ingin memilih 2 huruf berbeda dan menyusunnya.
Jika kita memilih 2 huruf dari 5 jenis huruf unik: P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 * 4 = 20.

Ini jika kita memilih *jenis* hurufnya. Tapi kita punya 7 huruf fisik.

Mari kita pertimbangkan:
Kasus 1: Kedua huruf dipilih dari huruf yang unik (L, A, I). Pilih 2 dari 3, susun: P(3, 2) = 6.
Kasus 2: Satu huruf S, satu huruf lain (L, A, I). Pilih 1 dari 3, lalu susun dengan S: C(3,1) * P(2,2) = 3 * 2 = 6. Tetapi S bisa S1 atau S2. Jadi 6 * 2 = 12.
Kasus 3: Satu huruf E, satu huruf lain (L, A, I). Pilih 1 dari 3, lalu susun dengan E: C(3,1) * P(2,2) = 3 * 2 = 6. Tetapi E bisa E1 atau E2. Jadi 6 * 2 = 12.
Kasus 4: Satu huruf S, satu huruf E. Susunannya SE, ES. Ada 2 S, 2 E. Jadi 2 * 2 * 2 = 8.

Total: 6 + 12 + 12 + 8 = 38.

Mari gunakan cara lain: Hitung total permutasi 2 huruf dari 7 huruf, lalu kurangi jika ada duplikasi yang tidak diinginkan.

Cara paling sederhana adalah memilih 2 huruf berbeda dari 5 jenis huruf unik (S, E, L, A, I) dan menyusunnya.
Posisi 1 bisa diisi oleh 5 jenis huruf.
Posisi 2 bisa diisi oleh 4 jenis huruf yang tersisa.
Total susunan = 5 * 4 = 20.

Ini jika kita hanya memilih jenis hurufnya. Namun, kita perlu mempertimbangkan jumlah kemunculan.

Kita memilih 2 huruf berbeda dari {S, E, L, E, S, A, I}.

Jumlah cara memilih 2 huruf berbeda:
1. Kedua huruf berbeda dan tidak ada pengulangan (misal L, A).
   Pilih 2 dari {L, A, I}: C(3, 2) = 3 pasang.
   Untuk setiap pasang, ada 2! = 2 susunan. Jadi 3 * 2 = 6.
2. Satu huruf adalah S, satu lagi berbeda (L, A, I).
   Ada 3 pilihan untuk huruf kedua. Susunan SL, LS, SA, AS, SI, IS. Ada 3 * 2 = 6.
3. Satu huruf adalah E, satu lagi berbeda (L, A, I).
   Ada 3 pilihan untuk huruf kedua. Susunan EL, LE, EA, AE, EI, IE. Ada 3 * 2 = 6.
4. Satu huruf S, satu huruf E.
   Susunan SE, ES. Ada 2 susunan.

Total = 6 + 6 + 6 + 2 = 20.

Ini masih belum benar karena tidak mempertimbangkan jumlah S dan E yang ada.

Cara yang benar adalah memilih 2 huruf dari 5 jenis huruf unik (S, E, L, A, I), kemudian menyusunnya.
Jumlah cara memilih 2 jenis huruf yang berbeda = C(5, 2) = 10.
Pasangan jenis huruf: (S,E), (S,L), (S,A), (S,I), (E,L), (E,A), (E,I), (L,A), (L,I), (A,I).

1. Pasangan yang tidak melibatkan S atau E: (L,A), (L,I), (A,I). Ada 3 pasang.
   Untuk setiap pasang, ada 2! = 2 susunan. Total = 3 * 2 = 6.
2. Pasangan yang melibatkan S (dan bukan E): (S,L), (S,A), (S,I). Ada 3 pasang.
   Untuk setiap pasang, ada 2 susunan (misal SL, LS). Karena ada 2 S, maka 2 * 2 = 4 susunan per pasang. Total = 3 * 4 = 12.
3. Pasangan yang melibatkan E (dan bukan S): (E,L), (E,A), (E,I). Ada 3 pasang.
   Untuk setiap pasang, ada 2 susunan (misal EL, LE). Karena ada 2 E, maka 2 * 2 = 4 susunan per pasang. Total = 3 * 4 = 12.
4. Pasangan yang melibatkan S dan E: (S,E). Ada 1 pasang.
   Susunannya SE, ES. Karena ada 2 S dan 2 E, maka ada 2*2 = 4 cara memilih hurufnya (S1E1, S1E2, S2E1, S2E2) lalu susun 2! = 2.
   Total cara = C(2,1) * C(2,1) * 2! = 2 * 2 * 2 = 8.

Total susunan = 6 + 12 + 12 + 8 = 38.

Jadi, banyak kemungkinan susunan huruf yang terdiri atas 2 huruf berbeda adalah 38.

b. Menuliskan semua kemungkinan susunan huruf tersebut:

Dari huruf {S, E, L, E, S, A, I}

1. Huruf berbeda, tidak ada S atau E:
   LA, AL
   LI, IL
   AI, IA
   (6 susunan)

2. Satu S, satu huruf lain (L, A, I):
   SL, LS
   SA, AS
   SI, IS
   (6 susunan dasar)
   Karena ada 2 S, kita kalikan 2: S1L, LS1, S2L, LS2, S1A, AS1, S2A, AS2, S1I, IS1, S2I, IS2. (12 susunan)

3. Satu E, satu huruf lain (L, A, I):
   EL, LE
   EA, AE
   EI, IE
   (6 susunan dasar)
   Karena ada 2 E, kita kalikan 2: E1L, LE1, E2L, LE2, E1A, AE1, E2A, AE2, E1I, IE1, E2I, IE2. (12 susunan)

4. Satu S, satu E:
   SE, ES
   Karena ada 2 S dan 2 E:
   S1E1, E1S1
   S1E2, E2S1
   S2E1, E1S2
   S2E2, E2S2
   (8 susunan)

Total susunan = 6 + 12 + 12 + 8 = 38.

Berikut adalah daftar lengkapnya:

LA, AL, LI, IL, AI, IA,
SL, LS, SA, AS, SI, IS, (dari S1) S1L, LS1, S1A, AS1, S1I, IS1,
SL, LS, SA, AS, SI, IS, (dari S2) S2L, LS2, S2A, AS2, S2I, IS2,
EL, LE, EA, AE, EI, IE, (dari E1) E1L, LE1, E1A, AE1, E1I, IE1,
EL, LE, EA, AE, EI, IE, (dari E2) E2L, LE2, E2A, AE2, E2I, IE2,
SE, ES (dari S1, E1) S1E1, E1S1,
SE, ES (dari S1, E2) S1E2, E2S1,
SE, ES (dari S2, E1) S2E1, E1S2,
SE, ES (dari S2, E2) S2E2, E2S2.

Untuk penyederhanaan, kita akan menuliskan hurufnya saja:
LA, AL, LI, IL, AI, IA,
SL, LS, SA, AS, SI, IS,
EL, LE, EA, AE, EI, IE,
SE, ES.

Jika kita mempertimbangkan duplikasi S dan E:

Pasangan (L,A): LA, AL (2)
Pasangan (L,I): LI, IL (2)
Pasangan (A,I): AI, IA (2)
Total = 6.

Pasangan (S,L): S1L, LS1, S2L, LS2 (4)
Pasangan (S,A): S1A, AS1, S2A, AS2 (4)
Pasangan (S,I): S1I, IS1, S2I, IS2 (4)
Total = 12.

Pasangan (E,L): E1L, LE1, E2L, LE2 (4)
Pasangan (E,A): E1A, AE1, E2A, AE2 (4)
Pasangan (E,I): E1I, IE1, E2I, IE2 (4)
Total = 12.

Pasangan (S,E): S1E1, E1S1, S1E2, E2S1, S2E1, E1S2, S2E2, E2S2 (8)
Total = 8.

Jadi, total susunan adalah 6 + 12 + 12 + 8 = 38.


a. Banyak kemungkinan susunan huruf yang terdiri atas 2 huruf berbeda adalah 38.

b. Semua kemungkinan susunan huruf tersebut adalah:
LA, AL, LI, IL, AI, IA,
S1L, LS1, S2L, LS2, SA1, AS1, SA2, AS2, SI1, IS1, SI2, IS2,
E1L, LE1, E2L, LE2, EA1, AE1, EA2, AE2, EI1, IE1, EI2, IE2,
S1E1, E1S1, S1E2, E2S1, S2E1, E1S2, S2E2, E2S2.