a. Nyatakan sin^2 x dalam cos 2x. b. Tentukan nilai sin^2

240/13

Pembahasan

Mari kita pecahkan soal ini menjadi dua bagian:

a. Nyatakan sin^2 x dalam cos 2x.

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri dasar. Salah satu identitas yang menghubungkan cos(2x) dengan sin(x) adalah:
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Untuk menyatakan sin^2 x, kita perlu menyusun ulang persamaan ini:
2sin^2(x) = 1 - cos(2x)
sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Jadi, sin^2 x dapat dinyatakan sebagai setengah dari selisih antara 1 dan cos(2x).

b. Tentukan nilai sin^2 x, jika diketahui tan 2x = 3/4 di mana 90 < x < 180.

Langkah pertama adalah menentukan nilai cos(2x) dari tan(2x).
Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).
Kita juga tahu identitas: 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ) = 1/cos^2(θ).

Dalam kasus ini, θ = 2x.
1 + tan^2(2x) = 1/cos^2(2x)
1 + (3/4)^2 = 1/cos^2(2x)
1 + 9/16 = 1/cos^2(2x)
(16/16) + (9/16) = 1/cos^2(2x)
25/16 = 1/cos^2(2x)

cos^2(2x) = 16/25

Karena cos^2(2x) = 16/25, maka cos(2x) bisa bernilai 4/5 atau -4/5.

Sekarang kita perlu menentukan tanda cos(2x) berdasarkan informasi tentang x.
Diketahui 90 < x < 180.
Ini berarti x berada di kuadran II.
Ketika kita mengalikan x dengan 2, rentang 2x menjadi:
2 * 90 < 2x < 2 * 180
180 < 2x < 360

Ini berarti 2x berada di kuadran III atau IV.
Kita juga diberi tahu bahwa tan(2x) = 3/4. Nilai tangen positif di kuadran I dan III.
Karena 2x berada di rentang 180 < 2x < 360, dan tan(2x) positif, maka 2x pasti berada di kuadran III.

Di kuadran III, nilai cosinus adalah negatif.
Oleh karena itu, cos(2x) = -4/5.

Sekarang kita bisa menggunakan hasil dari bagian a untuk mencari sin^2 x:
sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2
sin^2(x) = (1 - (-4/5)) / 2
sin^2(x) = (1 + 4/5) / 2
sin^2(x) = (5/5 + 4/5) / 2
sin^2(x) = (9/5) / 2
sin^2(x) = 9/10

Jadi, nilai sin^2 x adalah 9/10.

**Jawaban Ringkas:**
a. sin^2 x = (1 - cos 2x) / 2
b. 9/10

**Metadata:**
`grades`: ["11", "12"], `chapters`: ["Matematika"], `topics`: ["Trigonometri"], `sections`: ["Identitas Trigonometri"], `type`: "QnA"}, {