Ajeng mengamati bahwa jumlah semua koefisien dan konstanta

Kesimpulan Ajeng benar, P(1)=0. Faktorisasi lengkap P(x) = (x - 1)(x + 5)(x - 2).

Pembahasan

Kesimpulan Ajeng bahwa x-1 merupakan salah satu faktor dari P(x) = x³ + 2x² - 13x + 10 adalah benar. Ini dapat dibuktikan menggunakan Teorema Faktor.

**Pembuktian Kesimpulan Ajeng (Teorema Faktor):**

Teorema Faktor menyatakan bahwa jika P(a) = 0, maka (x - a) adalah faktor dari polinomial P(x).
Dalam kasus ini, Ajeng menyimpulkan bahwa (x - 1) adalah faktor, yang berarti a = 1.
Mari kita substitusikan x = 1 ke dalam P(x):

P(1) = (1)³ + 2(1)² - 13(1) + 10
P(1) = 1 + 2(1) - 13 + 10
P(1) = 1 + 2 - 13 + 10
P(1) = 3 - 13 + 10
P(1) = -10 + 10
P(1) = 0

Karena P(1) = 0, maka berdasarkan Teorema Faktor, (x - 1) memang merupakan salah satu faktor dari P(x).

**Memfaktorkan P(x) secara Lengkap:**

Karena kita tahu bahwa (x - 1) adalah faktor, kita bisa menggunakan pembagian polinomial (sintetis atau bersusun) untuk mencari faktor lainnya.

Kita akan menggunakan pembagian sintetis dengan pembagi (x - 1), yang berarti kita menggunakan akar x = 1:

```
1 | 1   2   -13   10
  |     1    3   -10
  ------------------
    1   3   -10    0
```

Hasil pembagiannya adalah polinomial derajat 2 dengan koefisien 1, 3, dan -10. Jadi, hasil pembagiannya adalah x² + 3x - 10.

Sekarang kita perlu memfaktorkan x² + 3x - 10. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -10 dan jika dijumlahkan menghasilkan 3. Bilangan tersebut adalah 5 dan -2.

Maka, x² + 3x - 10 dapat difaktorkan menjadi (x + 5)(x - 2).

Sehingga, faktorisasi lengkap dari P(x) adalah:
P(x) = (x - 1)(x + 5)(x - 2)

**Kesimpulan:**
Kesimpulan Ajeng benar, (x-1) adalah faktor dari P(x). Faktorisasi lengkap dari P(x) = x³ + 2x² - 13x + 10 adalah (x - 1)(x + 5)(x - 2).