Akar-akar dari persamaan x^4-10x^3+36x^2-54x+27=0 adalah

Akar-akarnya adalah x=1 dan x=3 (akar rangkap tiga).

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar dari persamaan polinomial $x^4-10x^3+36x^2-54x+27=0$, kita bisa mencoba mensubstitusikan pilihan yang diberikan ke dalam persamaan. Jika hasilnya adalah 0, maka angka tersebut adalah akar persamaan.

Mari kita uji pilihan yang umum diberikan dalam soal seperti ini:

1. Coba $x=1$: $1^4 - 10(1)^3 + 36(1)^2 - 54(1) + 27 = 1 - 10 + 36 - 54 + 27 = 74 - 64 = 10 \neq 0$. Jadi, $x=1$ bukan akar.
2. Coba $x=3$: $3^4 - 10(3)^3 + 36(3)^2 - 54(3) + 27 = 81 - 10(27) + 36(9) - 162 + 27 = 81 - 270 + 324 - 162 + 27 = 432 - 432 = 0$. Jadi, $x=3$ adalah akar.

Karena $x=3$ adalah akar, maka $(x-3)$ adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita bisa melakukan pembagian polinomial untuk mencari faktor lainnya.

( $x^4-10x^3+36x^2-54x+27$ ) / ( $x-3$ )

Setelah melakukan pembagian polinomial, kita akan mendapatkan hasil $x^3-7x^2+15x-9=0$.

Sekarang kita perlu mencari akar dari $x^3-7x^2+15x-9=0$. Coba lagi $x=3$: $3^3 - 7(3)^2 + 15(3) - 9 = 27 - 7(9) + 45 - 9 = 27 - 63 + 45 - 9 = 72 - 72 = 0$. Jadi, $x=3$ adalah akar lagi (akar kembar).

Kita bagi lagi $x^3-7x^2+15x-9=0$ dengan $(x-3)$. Hasilnya adalah $x^2-4x+3=0$.

Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat $x^2-4x+3=0$. Faktorkan menjadi $(x-1)(x-3)=0$. Sehingga akarnya adalah $x=1$ dan $x=3$.

Jadi, akar-akar dari persamaan $x^4-10x^3+36x^2-54x+27=0$ adalah $x=3$ (akar tiga kali) dan $x=1$.