Akar-akar dari persamaan x^4-22x^3+px^2+qx+r=0 membentuk

21

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan sifat akar-akar polinomial dan barisan aritmatika.
Persamaan yang diberikan adalah x^4 - 22x^3 + px^2 + qx + r = 0.
Akar-akarnya membentuk barisan aritmatika dengan beda 3. Misalkan akar-akarnya adalah α, α+3, α+6, α+9.

Menurut Teorema Vieta untuk polinomial derajat 4:
Jumlah akar-akar = -(-22)/1 = 22
(α) + (α+3) + (α+6) + (α+9) = 22
4α + 18 = 22
4α = 22 - 18
4α = 4
α = 1

Jadi, akar-akarnya adalah 1, 1+3=4, 4+3=7, 7+3=10.

Sekarang kita bisa mencari nilai p, q, dan r menggunakan Teorema Vieta:

1. Koefisien x^2 (p): Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan.
p = (α)(α+3) + (α)(α+6) + (α)(α+9) + (α+3)(α+6) + (α+3)(α+9) + (α+6)(α+9)
p = (1)(4) + (1)(7) + (1)(10) + (4)(7) + (4)(10) + (7)(10)
p = 4 + 7 + 10 + 28 + 40 + 70
p = 159

2. Koefisien x (q): Jumlah negatif dari hasil kali tiga akar berpasangan.
-q = (α)(α+3)(α+6) + (α)(α+3)(α+9) + (α)(α+6)(α+9) + (α+3)(α+6)(α+9)
-q = (1)(4)(7) + (1)(4)(10) + (1)(7)(10) + (4)(7)(10)
-q = 28 + 40 + 70 + 280
-q = 418
q = -418

3. Konstanta (r): Hasil kali semua akar.
r = (α)(α+3)(α+6)(α+9)
r = (1)(4)(7)(10)
r = 280

Terakhir, kita hitung nilai p + q + r:
p + q + r = 159 + (-418) + 280
p + q + r = 159 - 418 + 280
p + q + r = 439 - 418
p + q + r = 21

Jadi, nilai p + q + r adalah 21.