Akar-akar dari suku banyak x^4+4x^3+2x^2-4x-3=0 adalah ....

1, -1, -1, -3

Pembahasan

Kita perlu mencari akar-akar dari suku banyak P(x) = x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3 = 0.

Kita bisa mencoba mencari akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional. Akar rasional yang mungkin adalah faktor dari konstanta (-3) dibagi dengan faktor dari koefisien utama (1). Faktor dari -3 adalah ±1, ±3. Faktor dari 1 adalah ±1.

Akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±3.

Mari kita uji x = 1:
P(1) = (1)^4 + 4(1)^3 + 2(1)^2 - 4(1) - 3 = 1 + 4 + 2 - 4 - 3 = 7 - 7 = 0.
Jadi, x = 1 adalah salah satu akar.

Karena x = 1 adalah akar, maka (x - 1) adalah faktor dari suku banyak tersebut. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau skema Horner.

Menggunakan Skema Horner dengan x = 1:

1 | 1   4   2   -4   -3
  |     1   5    7    3
  ---------------------
    1   5   7    3    0

Hasil pembagiannya adalah x^3 + 5x^2 + 7x + 3. Jadi, P(x) = (x - 1)(x^3 + 5x^2 + 7x + 3) = 0.

Sekarang kita cari akar dari suku banyak Q(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = 0.
Kita uji lagi akar rasional yang mungkin (±1, ±3).

Mari kita uji x = -1:
Q(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 8 - 8 = 0.
Jadi, x = -1 adalah salah satu akar.

Karena x = -1 adalah akar, maka (x + 1) adalah faktor dari Q(x). Gunakan Skema Horner lagi dengan x = -1:

-1 | 1   5   7   3
   |    -1  -4  -3
   ----------------
     1   4   3   0

Hasil pembagiannya adalah x^2 + 4x + 3. Jadi, Q(x) = (x + 1)(x^2 + 4x + 3) = 0.

Sekarang kita cari akar dari suku banyak kuadratik x^2 + 4x + 3 = 0.
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(x + 1)(x + 3) = 0

Ini memberikan kita dua akar lagi:
x + 1 = 0  => x = -1
x + 3 = 0  => x = -3

Jadi, akar-akar dari suku banyak x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3 = 0 adalah:
x = 1 (dari faktor pertama)
x = -1 (dari faktor kedua)
x = -1 (dari faktorisasi kuadratik)
x = -3 (dari faktorisasi kuadratik)

Akar-akarnya adalah 1, -1, -1, dan -3. Kita bisa menuliskannya sebagai 1, -3, dan -1 (dengan multiplisitas 2).

Akar-akar dari suku banyak x^4+4x^3+2x^2-4x-3=0 adalah 1, -1, -1, dan -3.