Akar-akar persamaan kuadrat x^2 + 6x + c = 0 adalah x1 dan

64

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai dari $x_1^3x_2 + x_1x_2^3$ berdasarkan informasi yang diberikan tentang akar-akar dua persamaan kuadrat.

**Langkah 1: Analisis Persamaan Pertama**
Persamaan kuadrat pertama adalah $x^2 + 6x + c = 0$. Akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$.
Menurut Vieta's formulas:
Jumlah akar: $x_1 + x_2 = -6/1 = -6$
Hasil kali akar: $x_1 x_2 = c/1 = c$

**Langkah 2: Hubungkan dengan Persamaan Kedua**
Persamaan kuadrat kedua adalah $x^2 + (x_1^2 + x_2^2)x + 4 = 0$. Akar-akarnya adalah $u$ dan $v$.
Menurut Vieta's formulas:
Jumlah akar: $u + v = -(x_1^2 + x_2^2)$
Hasil kali akar: $uv = 4$

Diketahui juga bahwa $u+v = -uv$.
Substitusikan nilai $u+v$ dan $uv$ dari Vieta's formulas:
$-(x_1^2 + x_2^2) = -(4)$
$x_1^2 + x_2^2 = 4$

**Langkah 3: Hitung $x_1^2 + x_2^2$ menggunakan identitas aljabar**
Kita tahu bahwa $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Maka, $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Kita sudah tahu $x_1 + x_2 = -6$. Kita juga perlu $x_1x_2 = c$.
Jadi, $4 = (-6)^2 - 2c$
$4 = 36 - 2c$
$2c = 36 - 4$
$2c = 32$
$c = 16$

Dengan $c=16$, maka $x_1x_2 = 16$.

**Langkah 4: Hitung Ekspresi yang Diminta**
Kita perlu menghitung $x_1^3x_2 + x_1x_2^3$.
Faktorkan ekspresi tersebut:
$x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2)$

Kita sudah memiliki nilai $x_1x_2 = 16$ dan $x_1^2 + x_2^2 = 4$.
Substitusikan nilai-nilai ini:
$x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = (16)(4)$
$x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = 64$

Jadi, nilai dari $x_1^3x_2 + x_1x_2^3$ adalah 64.