Jarak titik A ke garis HB kubus ABCD.EFGH dengan panjang

Jarak titik A ke garis HB pada kubus dengan rusuk $a$ cm adalah $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ cm. Ini dihitung dengan menggunakan segitiga siku-siku ABH dan konsep proyeksi.

Pembahasan

Jarak titik A ke garis HB pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$ cm adalah jarak terpendek dari titik A ke setiap titik pada garis HB. Garis HB adalah diagonal ruang kubus. Untuk mencarinya, kita dapat menggunakan konsep proyeksi titik pada garis atau menggunakan teorema Pythagoras.

Misalkan kita tinjau segitiga ABH. Segitiga ini adalah segitiga siku-siku di B. Panjang AB = $a$, panjang AH adalah diagonal bidang ADHE, yaitu $a\sqrt{2}$. Panjang BH adalah diagonal ruang, yaitu $a\sqrt{3}$.

Sekarang, kita perlu mencari jarak dari titik A ke garis HB. Jarak ini adalah panjang garis yang ditarik dari A dan tegak lurus terhadap HB. Misalkan titik potongnya adalah P. Maka AP adalah jarak yang kita cari.

Kita bisa menggunakan luas segitiga ABH:
Luas $\triangle ABH = \frac{1}{2} \times AB \times BH = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Namun, luas ini dihitung jika sudut di B adalah siku-siku, yang memang benar.

Alternatif lain, kita bisa melihat segitiga siku-siku ABH dengan siku-siku di B. Kita ingin mencari jarak dari A ke garis miring HB. Misalkan P adalah titik pada HB sehingga AP tegak lurus HB. 

Dalam $\triangle ABH$, kita punya $AB=a$, $AH=a\sqrt{2}$, $BH=a\sqrt{3}$. 
Dengan menggunakan kesamaan segitiga atau trigonometri, kita bisa mencari panjang AP. 

Perhatikan segitiga siku-siku ABH. Proyeksikan A ke HB di titik P. Segitiga ABP siku-siku di P. Sudut $\angle ABH$ adalah sudut antara rusuk AB dan diagonal ruang BH. Cosinus sudut ini dapat dihitung dari $\triangle ABH$:
$\cos(\angle ABH) = \frac{AB}{BH} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Dalam $\triangle ABP$, kita punya $\sin(\angle ABP) = \frac{AP}{AB}$.
Karena $\angle ABP = \angle ABH$, maka $\sin(\angle ABH) = \frac{AP}{a}$.
Kita tahu $\cos(\angle ABH) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Maka $\sin(\angle ABH) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ABH)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Jadi, $\frac{AP}{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$AP = a \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Jadi, jarak titik A ke garis HB adalah $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ cm.