Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 10Kelas 12Kelas 11mathVektorAljabar

Diketahui vektor a=( -6 -2 ) dan vektor b=( 2 -1 ).

Pertanyaan

Diketahui vektor $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan vektor $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$.

Solusi

Verified

Proyeksi vektor ortogonalnya adalah $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Pembahasan

Diketahui vektor $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan vektor $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. Proyeksi vektor ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ diberikan oleh rumus: $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} \hat{\mathbf{b}}$ dimana $\hat{\mathbf{b}}$ adalah vektor satuan dari $\mathbf{b}$. Alternatif lain, rumus proyeksi skalar adalah $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}$. Proyeksi vektor adalah hasil kali proyeksi skalar dengan vektor satuan $\hat{\mathbf{b}} = \frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}$. Maka, $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} \frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b}$. Langkah 1: Hitung hasil kali titik (dot product) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-6)(2) + (-2)(-1)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -12 + 2$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -10$. Langkah 2: Hitung kuadrat dari panjang vektor $\mathbf{b}$, yaitu $\|\mathbf{b}\|^2$. $\|\mathbf{b}\|^2 = (2)^2 + (-1)^2$ $\|\mathbf{b}\|^2 = 4 + 1$ $\|\mathbf{b}\|^2 = 5$. Langkah 3: Substitusikan hasil dari Langkah 1 dan Langkah 2 ke dalam rumus proyeksi vektor. $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{-10}{5} \mathbf{b}$ $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = -2 \mathbf{b}$ Langkah 4: Kalikan skalar -2 dengan vektor $\mathbf{b}$. $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = -2 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \times 2 \\ -2 \times -1 \end{pmatrix}$ $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$. Jadi, proyeksi vektor ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ adalah $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Proyeksi Vektor, Operasi Vektor
Section: Proyeksi Ortogonal Vektor

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...