Diketahui vektor a=( -6 -2 ) dan vektor b=( 2 -1 ).

Proyeksi vektor ortogonalnya adalah $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Pembahasan

Diketahui vektor $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}$ dan vektor $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Proyeksi vektor ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ diberikan oleh rumus:
$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} \hat{\mathbf{b}}$

dimana $\hat{\mathbf{b}}$ adalah vektor satuan dari $\mathbf{b}$.
Alternatif lain, rumus proyeksi skalar adalah $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}$. Proyeksi vektor adalah hasil kali proyeksi skalar dengan vektor satuan $\hat{\mathbf{b}} = \frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}$.

Maka, $\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} \frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{\|\mathbf{b}\|^2} \mathbf{b}$.

Langkah 1: Hitung hasil kali titik (dot product) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-6)(2) + (-2)(-1)$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -12 + 2$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -10$.

Langkah 2: Hitung kuadrat dari panjang vektor $\mathbf{b}$, yaitu $\|\mathbf{b}\|^2$.
$\|\mathbf{b}\|^2 = (2)^2 + (-1)^2$
$\|\mathbf{b}\|^2 = 4 + 1$
$\|\mathbf{b}\|^2 = 5$.

Langkah 3: Substitusikan hasil dari Langkah 1 dan Langkah 2 ke dalam rumus proyeksi vektor.
$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{-10}{5} \mathbf{b}$
$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = -2 \mathbf{b}$

Langkah 4: Kalikan skalar -2 dengan vektor $\mathbf{b}$.
$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = -2 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \times 2 \\ -2 \times -1 \end{pmatrix}$
$\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Jadi, proyeksi vektor ortogonal vektor $\mathbf{a}$ pada vektor $\mathbf{b}$ adalah $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$.