Alas sebuah limas adalah belah ketupat dengan panjang

Volume = 1080 cm³, Luas Permukaan ≈ 684.62 cm²

Pembahasan

Diketahui:
Panjang diagonal belah ketupat (d1) = 18 cm
Panjang diagonal belah ketupat (d2) = 12 cm
Tinggi limas (t) = 30 cm

1. Menghitung Volume Limas:
Rumus volume limas adalah V = 1/3 * Luas Alas * Tinggi.
Luas Alas (belah ketupat) = 1/2 * d1 * d2
Luas Alas = 1/2 * 18 cm * 12 cm
Luas Alas = 1/2 * 216 cm²
Luas Alas = 108 cm²

Volume = 1/3 * 108 cm² * 30 cm
Volume = 1/3 * 3240 cm³
Volume = 1080 cm³

2. Menghitung Luas Permukaan Limas:
Luas permukaan limas = Luas Alas + Luas Selimut.
Untuk menghitung luas selimut, kita perlu mencari panjang garis pelukis (s).
Panjang setengah diagonal belah ketupat adalah 18/2 = 9 cm dan 12/2 = 6 cm.
Panjang sisi belah ketupat (a) dihitung menggunakan teorema Pythagoras:
a² = (d1/2)² + (d2/2)²
a² = 9² + 6²
a² = 81 + 36
a² = 117
a = √117 cm

Panjang garis pelukis (s) dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada tinggi limas dan setengah diagonal alas:
s² = t² + (d1/2)² atau s² = t² + (d2/2)²
Kita perlu menggunakan kedua setengah diagonal untuk mencari panjang garis pelukis pada setiap sisi tegak yang berbeda. Namun, karena alasnya belah ketupat, sisi-sisinya sama panjang (a = √117). Kita perlu mencari tinggi segitiga pada setiap sisi tegak.

Misalkan kita hitung luas selimut dengan membagi limas menjadi 4 segitiga.
Luas satu segitiga tegak = 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga.
Alas segitiga adalah sisi belah ketupat (a = √117).
Kita perlu tinggi yang tegak lurus dengan sisi alas belah ketupat dari puncak limas. 

Cara yang lebih mudah adalah menghitung luas selimut dengan menjumlahkan luas 4 segitiga yang membentuk sisi tegak limas. Luas masing-masing segitiga dapat dihitung dengan alasnya (sisi belah ketupat) dan tingginya (garis pelukis yang sesuai).

Karena alasnya belah ketupat, ada dua pasang segitiga yang kongruen. 
Setengah diagonalnya adalah 9 cm dan 6 cm. Tinggi limas adalah 30 cm.

Garis pelukis (s1) untuk sisi yang berhadapan dengan diagonal 12 cm: s1² = 30² + 9² = 900 + 81 = 981 => s1 = √981 = 9√11. 
Luas 2 segitiga = 2 * (1/2 * alas * s1) = alas * s1 = √117 * 9√11 = 9√1287.

Garis pelukis (s2) untuk sisi yang berhadapan dengan diagonal 18 cm: s2² = 30² + 6² = 900 + 36 = 936 => s2 = √936 = 6√26. 
Luas 2 segitiga = 2 * (1/2 * alas * s2) = alas * s2 = √117 * 6√26 = 6√3042.

Ini menjadi sangat rumit jika kita tidak diberikan informasi tambahan tentang sudut atau bentuk spesifik dari sisi tegak.

Asumsi yang lebih umum untuk limas dengan alas belah ketupat adalah kita perlu mencari luas keempat segitiga sisi tegak. Alas setiap segitiga adalah sisi belah ketupat (a = √117). Kita perlu mencari tinggi masing-masing segitiga (garis pelukis).

Garis pelukis (s) pada sisi tegak limas yang alasnya adalah sisi belah ketupat (a = √117) dapat dihitung. 
Kita perlu mencari tinggi segitiga yang dibentuk oleh garis pelukis, tinggi limas, dan setengah diagonal alas.

Misalkan kita ambil titik pusat O. Titik A, B, C, D adalah sudut belah ketupat. Misalkan AC = 18 (AO = 9) dan BD = 12 (BO = 6). Sisi AB = √117.

Tinggi limas T = 30.
Untuk sisi yang alasnya adalah AB, kita perlu tinggi dari T ke AB. 
Perhatikan segitiga TOB (siku-siku di O). TB adalah sisi tegak limas, bukan garis pelukis sisi tegak limas. TB adalah rusuk tegak limas.

Kita perlu garis pelukis (l) yang merupakan tinggi dari sisi segitiga tegak.
Pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi limas (t=30), setengah diagonal (misal 9), dan rusuk tegak (misal TA), kita perlu mencari tinggi segitiga sisi tegak.

Untuk limas dengan alas belah ketupat, kita perlu menghitung luas dari 4 segitiga. Alas segitiga adalah sisi belah ketupat (a = √117). Kita perlu tinggi dari segitiga tersebut (garis pelukis).

Garis pelukis (l) dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada tinggi limas (t) dan jarak dari pusat alas ke sisi alas. Jarak dari pusat ke sisi alas belah ketupat bukanlah setengah diagonal.

Luas Permukaan = Luas Alas + Luas Selimut
Luas Alas = 108 cm²

Luas Selimut adalah jumlah luas 4 segitiga. Masing-masing segitiga memiliki alas = √117 cm.
Kita perlu mencari tinggi dari masing-masing segitiga (garis pelukis).
Misalkan tinggi limas T diletakkan pada pusat O. Jarak dari O ke sisi belah ketupat, katakanlah proyeksi O ke sisi AB, misal P. Segitiga TO P siku-siku di O.
Untuk mencari jarak O ke sisi belah ketupat, kita bisa menggunakan Luas Alas = 1/2 * keliling * apotema, tapi ini untuk poligon beraturan.

Cara lain: Luas belah ketupat = 4 * Luas segitiga siku-siku kecil (misal AOB).
Luas AOB = 1/4 * 108 = 27 cm².
Luas AOB = 1/2 * AO * BO = 1/2 * 9 * 6 = 27 cm².

Untuk mencari tinggi segitiga sisi tegak (garis pelukis), kita bisa memproyeksikan tinggi limas ke bidang alas. Tinggi limas (30) tegak lurus dengan bidang alas.
Misalkan sisi alas adalah AB. Kita perlu tinggi segitiga TAB dari T ke AB. Misalkan P adalah titik pada AB sehingga TP adalah tinggi.

Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh tinggi limas (30), jarak dari pusat O ke sisi AB, dan garis pelukis (l).
Jarak dari pusat O ke sisi AB (apotema alas belah ketupat) dapat dihitung dengan:
Luas Segitiga AOB = 1/2 * AB * apotema
27 = 1/2 * √117 * apotema
Apotema = 54 / √117 = 54 / (3√13) = 18 / √13 = 18√13 / 13.

Garis pelukis (l)² = tinggi limas² + apotema²
l² = 30² + (18/√13)²
l² = 900 + 324/13
l² = (11700 + 324) / 13
l² = 12024 / 13
l = √(12024 / 13) ≈ √924.9 ≈ 30.41 cm

Luas Selimut = Keliling Alas * tinggi segitiga sisi tegak / 2
Luas Selimut = 4 * a * l / 2 = 2 * a * l
Luas Selimut = 2 * √117 * √(12024 / 13)
Luas Selimut = 2 * (3√13) * √(12024 / 13)
Luas Selimut = 6√13 * √(12024 / 13)
Luas Selimut = 6 * √12024
Luas Selimut ≈ 6 * 96.1 ≈ 576.6 cm²

Luas Permukaan = 108 + 576.6 = 684.6 cm²

Namun, perhitungan garis pelukis untuk belah ketupat bisa lebih sederhana jika kita perhatikan bahwa ada dua jenis segitiga sisi tegak.

Hitung ulang luas selimut dengan pendekatan yang lebih sederhana:
Luas selimut = 2 * Luas segitiga dengan garis pelukis s1 + 2 * Luas segitiga dengan garis pelukis s2.

Setengah diagonal: 9 cm dan 6 cm. Tinggi limas: 30 cm.

Garis pelukis pertama (l1) yang tegak lurus dengan sisi yang dibentuk oleh diagonal 12 cm (alas segitiga = √117).
Ini adalah garis pelukis yang menghubungkan puncak limas ke sisi belah ketupat yang lebih dekat ke diagonal 12 cm.
Pada segitiga siku-siku dengan sisi 30 (tinggi limas) dan 9 (setengah diagonal), kita mendapatkan garis pelukis sisi tegak. Ini bukan garis pelukis limas.

Mari kita gunakan definisi garis pelukis sisi tegak.
Ada dua pasangan segitiga di sisi tegak limas.

Pasangan 1: alas √117, tinggi (garis pelukis) l1
Pasangan 2: alas √117, tinggi (garis pelukis) l2

Untuk mencari l1 dan l2:

l1² = t² + (d1/2)²  -> ini jika sisi tegaknya adalah segitiga siku-siku di puncak.
Ini adalah kesalahan umum. Garis pelukis adalah tinggi dari sisi segitiga tegak.

Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi limas (30), jarak dari pusat ke sisi alas (apotema), dan garis pelukis (tinggi sisi tegak).

Apotema belah ketupat: 18/√13 cm.
Garis pelukis (l1) untuk sisi alas yang dibentuk oleh diagonal 18: l1² = 30² + (18/√13)² = 900 + 324/13 = 12024/13. l1 = √(12024/13).
Luas 2 segitiga = 2 * (1/2 * √117 * l1) = √117 * √(12024/13) = 3√13 * √(12024/13) = 3√12024.

Apotema kedua untuk sisi alas yang dibentuk oleh diagonal 12: Jarak dari pusat ke sisi alas = 12/√13 cm. (ini salah). Jaraknya sama.

Jika alasnya belah ketupat, tinggi sisi tegak yang keluar dari sudut yang berbeda akan berbeda.

Kita perlu menghitung luas dari 4 segitiga.
Setiap segitiga memiliki alas yang sama yaitu sisi belah ketupat (a = √117).

Kita perlu tinggi dari masing-masing segitiga.
Gunakan teorema Pythagoras pada tinggi limas (30) dan setengah diagonal.

Garis pelukis (l1) yang menghubungkan puncak ke titik tengah sisi belah ketupat yang berdekatan dengan diagonal 12cm:
l1² = 30² + 9² = 900 + 81 = 981 => l1 = √981 = 9√11.
Luas 2 segitiga = 2 * (1/2 * √117 * 9√11) = √117 * 9√11 = 9√1287.

Garis pelukis (l2) yang menghubungkan puncak ke titik tengah sisi belah ketupat yang berdekatan dengan diagonal 18cm:
l2² = 30² + 6² = 900 + 36 = 936 => l2 = √936 = 6√26.
Luas 2 segitiga = 2 * (1/2 * √117 * 6√26) = √117 * 6√26 = 6√3042.

Luas Selimut = 9√1287 + 6√3042
Luas Selimut ≈ 9 * 35.87 + 6 * 55.15
Luas Selimut ≈ 322.83 + 330.9 ≈ 653.73 cm²

Luas Permukaan = Luas Alas + Luas Selimut
Luas Permukaan = 108 cm² + 653.73 cm²
Luas Permukaan ≈ 761.73 cm²

Mari kita periksa ulang perhitungan garis pelukis.
Garis pelukis adalah tinggi sisi segitiga.

Volume = 1080 cm³.

Untuk luas permukaan, kita perlu menghitung luas keempat segitiga sisi tegak.
Alas setiap segitiga adalah sisi belah ketupat, a = √117 cm.
Kita perlu tinggi dari setiap segitiga.

Gunakan teorema Pythagoras pada:
1. Tinggi limas (30), setengah diagonal 1 (9), dan rusuk tegak (TA).
2. Tinggi limas (30), setengah diagonal 2 (6), dan rusuk tegak (TB).

Misalkan T adalah puncak limas, O adalah pusat alas. A, B, C, D adalah sudut alas. AC=18, BD=12. TO=30.
OA=9, OB=6. AB = √117.

Luas segitiga TAB: alas AB = √117. Tinggi TP, di mana P pada AB.
Pada segitiga siku-siku TOB, TB² = TO² + OB² = 30² + 6² = 900 + 36 = 936. TB = √936.
Pada segitiga siku-siku TOA, TA² = TO² + OA² = 30² + 9² = 900 + 81 = 981. TA = √981.

Sekarang perhatikan segitiga TAB. Sisi-sisinya adalah TA = √981, TB = √936, AB = √117.
Untuk mencari luas segitiga ini, kita perlu tingginya dari T ke AB.
Menggunakan rumus Heron untuk luas segitiga dengan sisi a, b, c:
s = (a+b+c)/2
Luas = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
Ini akan sangat rumit.

Alternatif: Gunakan phytagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi limas, jarak dari pusat ke sisi, dan garis pelukis (tinggi sisi tegak).

Jarak dari pusat O ke sisi AB (apotema) = 18/√13 cm.
Garis pelukis (l1) = √(30² + (18/√13)²) = √(900 + 324/13) = √(12024/13).
Luas 2 segitiga = 2 * (1/2 * √117 * √(12024/13)) = √117 * √(12024/13) = 3√13 * √(12024/13) = 3√12024.

Karena belah ketupat, jarak dari pusat ke keempat sisi adalah sama. Jadi, hanya ada satu jenis garis pelukis.

Luas Selimut = 4 * (1/2 * alas sisi * garis pelukis)
Luas Selimut = 2 * a * l1
Luas Selimut = 2 * √117 * √(12024/13)
Luas Selimut = 2 * 3√13 * √(12024/13)
Luas Selimut = 6√13 * √(12024/13)
Luas Selimut = 6 * √12024
Luas Selimut ≈ 6 * 96.103 ≈ 576.62 cm²

Luas Permukaan = Luas Alas + Luas Selimut
Luas Permukaan = 108 cm² + 576.62 cm²
Luas Permukaan ≈ 684.62 cm²

Kesimpulan:
Volume limas = 1080 cm³.
Luas permukaan limas = 684.62 cm².