Apakah a b=1 ? 1. a b a=a 2. a^(-1)<0 Apakah pernyataan (1)

Kedua pernyataan bersama-sama cukup.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah pernyataan (1) dan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan "Apakah a * b = 1?", kita perlu menganalisis masing-masing pernyataan:

1.  Pernyataan (1): a * b * a = a
    Jika a tidak sama dengan nol, kita bisa membagi kedua sisi dengan a:
    b * a = 1
    Ini tidak sama dengan a * b = 1, kecuali jika a dan b adalah bilangan komutatif. Namun, kita tidak diberi informasi bahwa a dan b komutatif. Jika a = 0, maka 0 * b * 0 = 0, yang selalu benar, tetapi tidak memberikan informasi tentang nilai b atau hasil a * b.
    Jadi, pernyataan (1) saja tidak cukup.

2.  Pernyataan (2): a^(-1) < 0
    a^(-1) adalah kebalikan dari a, yang berarti 1/a.
    Jadi, pernyataan ini menyatakan bahwa 1/a < 0.
    Ini berarti a harus bernilai negatif (a < 0).
    Jika a negatif, kita bisa memiliki a * b = 1 (misalnya, a = -1, b = -1) atau a * b tidak sama dengan 1 (misalnya, a = -2, b = 1).
    Jadi, pernyataan (2) saja tidak cukup.

3.  Menggabungkan Pernyataan (1) dan (2):
    Dari (1), kita punya b * a = 1 (dengan asumsi a != 0).
    Dari (2), kita tahu a < 0.
    Jika b * a = 1, maka a dan b harus memiliki tanda yang sama dan merupakan kebalikan satu sama lain. Karena a negatif, b juga harus negatif agar hasil perkaliannya positif (1).
    Misalnya, jika a = -2, maka dari b * a = 1, kita dapatkan b * (-2) = 1, sehingga b = -1/2.
    Dalam kasus ini, a * b = (-2) * (-1/2) = 1.
    Pernyataan (1) memberikan b*a=1. Pernyataan (2) memberikan a<0. Kita perlu mengetahui apakah a*b=1. Karena b*a=1, dan perkalian bilangan real bersifat komutatif (a*b = b*a), maka a*b juga sama dengan 1. Nilai negatif dari a tidak mempengaruhi kesimpulan bahwa a*b=1, asalkan a tidak nol (yang tersirat dari a^(-1) yang terdefinisi). 

Kesimpulan: Kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.