Balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=BC=3 cm dan AE=5 cm. P

\tan \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2}

Pembahasan

Untuk menentukan \tan \alpha, kita perlu mencari panjang PQ dan proyeksinya pada bidang ABCD.

Diketahui:
Balok ABCD.EFGH
AB = BC = 3 cm (panjang sisi alas persegi)
AE = 5 cm (tinggi balok)
P terletak pada AD sehingga AP:PD = 1:2
Q terletak pada FG sehingga FQ:QG = 2:1
\alpha adalah sudut antara PQ dengan bidang ABCD.

Langkah 1: Tentukan koordinat titik P dan Q.
Asumsikan A=(0,0,0).
Karena ABCD adalah alas persegi dengan AB=BC=3, maka:
A = (0,0,0)
B = (3,0,0)
C = (3,3,0)
D = (0,3,0)
E = (0,0,5)
F = (3,0,5)
G = (3,3,5)
H = (0,3,5)

P terletak pada AD (sumbu y) dengan AP:PD = 1:2. Panjang AD = 3 cm. AP = (1/3)*3 = 1 cm. PD = (2/3)*3 = 2 cm.
Jadi, P = (0, 1, 0).

Q terletak pada FG. FG sejajar dengan BC dan AE. Titik F = (3,0,5) dan G = (3,3,5). FQ:QG = 2:1.
Panjang FG = 3 cm. FQ = (2/3)*3 = 2 cm. QG = (1/3)*3 = 1 cm.
Koordinat Q adalah:
Q = F + (2/3)(G-F)
Q = (3,0,5) + (2/3)((3,3,5)-(3,0,5))
Q = (3,0,5) + (2/3)(0,3,0)
Q = (3,0,5) + (0,2,0)
Q = (3,2,5)

Langkah 2: Cari vektor PQ.
Vektor PQ = Q - P = (3,2,5) - (0,1,0) = (3,1,5)

Langkah 3: Proyeksikan PQ ke bidang ABCD (bidang xy).
Proyeksi vektor PQ pada bidang ABCD adalah vektor PQ' yang diperoleh dengan menghilangkan komponen z.
PQ' = (3,1,0)

Langkah 4: Hitung \tan \alpha.
\alpha adalah sudut antara PQ dan proyeksinya PQ' pada bidang ABCD.
Kita bisa menggunakan vektor PQ dan PQ' untuk mencari \cos \alpha, atau kita bisa mencari panjang PQ dan panjang proyeksinya.

Cara 1: Menggunakan panjang proyeksi.
Panjang PQ = ||PQ|| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}
Panjang proyeksi PQ' = ||PQ'|| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}

Secara geometris, jika kita membayangkan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh PQ, PQ', dan P'Q (di mana P' adalah proyeksi P ke bidang), tinggi segitiga tersebut adalah komponen z dari PQ, yaitu 5.

\tan \alpha = (Tinggi) / (Panjang Proyeksi)
\tan \alpha = 5 / \sqrt{10}
Untuk merasionalkan penyebut:
\tan \alpha = (5 \sqrt{10}) / (\sqrt{10} \sqrt{10})
\tan \alpha = (5 \sqrt{10}) / 10
\tan \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2}

Cara 2: Menggunakan vektor.
Misalkan \theta adalah sudut antara PQ dan PQ'.
\cos \theta = (PQ \cdot PQ') / (||PQ|| ||PQ'||)
PQ \cdot PQ' = (3)(3) + (1)(1) + (5)(0) = 9 + 1 + 0 = 10
||PQ|| = \sqrt{35}
||PQ'|| = \sqrt{10}
\cos \theta = 10 / (\sqrt{35} \sqrt{10}) = 10 / \sqrt{350} = 10 / (5\sqrt{14}) = 2 / \sqrt{14}

Karena \alpha = \theta, maka \cos \alpha = 2 / \sqrt{14}.
Kita bisa mencari \sin \alpha menggunakan identitas \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\sin^2 \alpha = 1 - (2/\sqrt{14})^2 = 1 - 4/14 = 1 - 2/7 = 5/7
\sin \alpha = \sqrt{5/7}

\tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha = (\sqrt{5/7}) / (2/\sqrt{14})
\tan \alpha = (\sqrt{5} / \sqrt{7}) \times (\sqrt{14} / 2)
\tan \alpha = (\sqrt{5} \times \sqrt{2} \times \sqrt{7}) / (\sqrt{7} \times 2)
\tan \alpha = (\sqrt{10} \times \sqrt{7}) / (\sqrt{7} \times 2)
\tan \alpha = \sqrt{10} / 2

Jadi, \tan \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2}.