Banyak solusi yang memenuhi sec x csc x - 3 sec x + 2 tan x

Ada 2 solusi dalam interval [0, 360°), yaitu 30° dan 150°.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari banyak solusi yang memenuhi persamaan trigonometri: sec x csc x - 3 sec x + 2 tan x = 0.

Langkah pertama adalah mengubah semua fungsi trigonometri ke dalam bentuk sinus dan kosinus agar lebih mudah dimanipulasi.
Ingat bahwa:
sec x = 1/cos x
csc x = 1/sin x
tan x = sin x / cos x

Substitusikan ke dalam persamaan:
(1/cos x)(1/sin x) - 3(1/cos x) + 2(sin x / cos x) = 0

1/(cos x sin x) - 3/cos x + 2 sin x / cos x = 0

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan, kita perlu menyamakan penyebutnya. Penyebut bersama adalah cos x sin x.
Kalikan suku kedua dan ketiga dengan (sin x / sin x) agar penyebutnya sama:
1/(cos x sin x) - (3 sin x)/(cos x sin x) + (2 sin^2 x)/(cos x sin x) = 0

Sekarang, gabungkan pembilangnya:
(1 - 3 sin x + 2 sin^2 x) / (cos x sin x) = 0

Agar pecahan bernilai nol, pembilangnya harus bernilai nol, asalkan penyebutnya tidak nol.
Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan:
2 sin^2 x - 3 sin x + 1 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk sin x. Misalkan y = sin x. Maka persamaan menjadi:
2y^2 - 3y + 1 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2*1=2 dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Bilangan tersebut adalah -1 dan -2.
2y^2 - y - 2y + 1 = 0
y(2y - 1) - 1(2y - 1) = 0
(y - 1)(2y - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk y:
y - 1 = 0  =>  y = 1
2y - 1 = 0  =>  y = 1/2

Karena y = sin x, kita punya:
sin x = 1  atau  sin x = 1/2

Sekarang kita cari nilai x dalam interval yang umum (misalnya, 0 hingga 2pi atau 0 hingga 360 derajat) yang memenuhi persamaan ini, dan kemudian periksa apakah penyebutnya (cos x sin x) tidak nol untuk nilai-nilai x tersebut.

Kasus 1: sin x = 1
Dalam interval [0, 360°), nilai x yang memenuhi adalah x = 90° (atau pi/2 radian).
Pada x = 90°:
cos x = cos 90° = 0
sin x = sin 90° = 1
Penyebutnya adalah cos x sin x = 0 * 1 = 0. Karena penyebutnya nol, x = 90° bukan solusi yang valid karena sec x tidak terdefinisi.

Kasus 2: sin x = 1/2
Dalam interval [0, 360°), nilai x yang memenuhi adalah:
x = 30° (atau pi/6 radian)
x = 180° - 30° = 150° (atau 5pi/6 radian)

Periksa penyebut untuk nilai-nilai ini:
Untuk x = 30°:
cos 30° = sqrt(3)/2
sin 30° = 1/2
Penyebut = cos 30° sin 30° = (sqrt(3)/2) * (1/2) = sqrt(3)/4. Ini tidak nol.
Jadi, x = 30° adalah solusi yang valid.

Untuk x = 150°:
cos 150° = -sqrt(3)/2
sin 150° = 1/2
Penyebut = cos 150° sin 150° = (-sqrt(3)/2) * (1/2) = -sqrt(3)/4. Ini tidak nol.
Jadi, x = 150° adalah solusi yang valid.

Jadi, solusi yang memenuhi persamaan dalam interval [0, 360°) adalah x = 30° dan x = 150°.

Jika kita mempertimbangkan periode fungsi trigonometri, solusi umumnya adalah:
x = 30° + n * 360°
x = 150° + n * 360°
dimana n adalah bilangan bulat.

Namun, pertanyaan