Batasan x yang memenuhi persamaan 1-3/(x-1)-4/(x-1)^2>0

x < 0 atau x > 5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 1 - 3/(x-1) - 4/(x-1)^2 > 0, pertama-tama kita samakan penyebutnya. Misalkan y = 1/(x-1). Maka pertidaksamaan menjadi 1 - 3y - 4y^2 > 0. Kita bisa memfaktorkan kuadratik ini: -(4y^2 + 3y - 1) > 0, atau 4y^2 + 3y - 1 < 0. Akar dari 4y^2 + 3y - 1 = 0 dapat ditemukan menggunakan rumus kuadratik atau pemfaktoran. Dengan pemfaktoran, kita dapatkan (4y - 1)(y + 1) = 0, sehingga y = 1/4 atau y = -1. Karena parabola 4y^2 + 3y - 1 terbuka ke atas, maka 4y^2 + 3y - 1 < 0 ketika -1 < y < 1/4. Sekarang substitusikan kembali y = 1/(x-1): -1 < 1/(x-1) < 1/4. Ini perlu dipecah menjadi dua pertidaksamaan: 1/(x-1) > -1 DAN 1/(x-1) < 1/4.
Untuk 1/(x-1) > -1:
Jika x-1 > 0 (x > 1), maka 1 > -(x-1) => 1 > -x + 1 => x > 0. Irisan x > 1 dan x > 0 adalah x > 1.
Jika x-1 < 0 (x < 1), maka 1 < -(x-1) => 1 < -x + 1 => x < 0. Irisan x < 1 dan x < 0 adalah x < 0.
Jadi, solusi untuk 1/(x-1) > -1 adalah x < 0 atau x > 1.
Untuk 1/(x-1) < 1/4:
Jika x-1 > 0 (x > 1), maka 4 < x-1 => x > 5. Irisan x > 1 dan x > 5 adalah x > 5.
Jika x-1 < 0 (x < 1), maka 4 > x-1 => x < 5. Irisan x < 1 dan x < 5 adalah x < 1.
Jadi, solusi untuk 1/(x-1) < 1/4 adalah x < 1 atau x > 5.
Sekarang kita cari irisan dari kedua solusi tersebut: (x < 0 atau x > 1) DAN (x < 1 atau x > 5). Irisannya adalah x < 0 atau x > 5. Jadi, batasan x yang memenuhi adalah x < 0 atau x > 5.