Diketahui limas T.ABCD. Alas ABCD layang-layang. sudut

8/√65

Pembahasan

Diketahui limas T.ABCD dengan alas ABCD berbentuk layang-layang.
Sudut A = 120°, Sudut C = 60°.
Proyeksi puncak T pada alas (T') berada di perpotongan diagonal AC dan BD.
TT' = 2AT'.
Kita perlu menghitung sin sudut ATC.

Karena ABCD adalah layang-layang dan T' adalah perpotongan diagonal, maka AC ⊥ BD.
Dalam layang-layang, diagonal terpanjang membagi diagonal terpendek dua sama panjang.
Kita asumsikan AC adalah diagonal terpanjang.
Dalam segitiga AT'B dan AT'D, AT' adalah sisi bersama, T'B = T'D, dan sudut AT'B = sudut AT'D = 90°.
Dalam segitiga CT'B dan CT'D, CT' adalah sisi bersama, T'B = T'D, dan sudut CT'B = sudut CT'D = 90°.

Dalam layang-layang, sudut yang berhadapan tidak selalu sama, tetapi sudut di antara dua sisi yang sama adalah sama.
Sudut A = 120°, Sudut C = 60°.
Jumlah sudut dalam segiempat adalah 360°. Maka Sudut B + Sudut D = 360° - 120° - 60° = 180°.

Dalam layang-layang, salah satu diagonal membagi dua sudut yang sama besar.
Jika diagonal AC membagi sudut B dan D, maka sudut B = sudut D = 90°.
Jika diagonal BD membagi sudut A dan C, maka sudut A = 2 * sudut BAO = 120° dan sudut C = 2 * sudut BCO = 60°.
Ini berarti sudut BAO = 60° dan sudut BCO = 30°.
Dalam segitiga AT'B, sudut BAT' = 60°, sudut AT'B = 90°, maka sudut ABT' = 30°.
Dalam segitiga CT'B, sudut BCT' = 30°, sudut CT'B = 90°, maka sudut CBT' = 60°.

Dalam segitiga AT'D, sudut DAT' = 60°, sudut AT'D = 90°, maka sudut ADT' = 30°.
Dalam segitiga CT'D, sudut DCT' = 30°, sudut CT'D = 90°, maka sudut CDT' = 60°.
Ini konsisten dengan sudut A = 120° dan sudut C = 60°.

Kita diberikan TT' = 2AT'.
Dalam segitiga AT'T, sudut AT'T = 90°.
Tan(sudut TAT') = TT' / AT' = 2AT' / AT' = 2.

Kita perlu mencari sin sudut ATC. Sudut ATC adalah sudut antara rusuk TA dan TC.
Dalam segitiga T'AT, tan(∠TAT') = TT'/AT' = 2. Maka sin(∠TAT') = 2/√5 dan cos(∠TAT') = 1/√5.
Dalam segitiga T'CT, tan(∠TCT') = TT'/CT'.
Kita perlu CT'. Dalam layang-layang, diagonal AC membagi dua diagonal BD.
Dalam segitiga AT'B, AT' = AB cos(60°), T'B = AB sin(60°).
Dalam segitiga CT'B, CT' = BC cos(30°), T'B = BC sin(30°).
Karena T'B = T'B, maka AB sin(60°) = BC sin(30°).
AB (√3/2) = BC (1/2) => AB = BC/√3.

AT' = AB cos(60°) = (BC/√3) * (1/2) = BC/(2√3).
CT' = BC cos(30°) = BC (√3/2).

Sekarang kita bisa mencari tan(∠TCT') = TT'/CT' = 2AT' / (BC√3/2) = 2(BC/(2√3)) / (BC√3/2) = (BC/√3) / (BC√3/2) = 2/3.
Dalam segitiga TCT', sin(∠TCT') = TT'/TC = 2AT' / TC. Kita perlu TC.
TC = BC / sin(30°) = BC / (1/2) = 2BC.
Sin(∠TCT') = 2AT' / (2BC) = AT'/BC = (BC/(2√3)) / BC = 1/(2√3).

Dalam segitiga ATC, kita memiliki sudut TAT' dan sudut TCT'. Namun, ini bukan sudut di dalam segitiga ATC.

Kita perlu menggunakan aturan kosinus pada segitiga ATC.
AC = AT' + CT' = BC/(2√3) + BC√3/2 = BC (1/(2√3) + √3/2) = BC ((1 + 3) / (2√3)) = BC (4 / (2√3)) = 2BC/√3.

Pada segitiga ATT', TA^2 = AT'^2 + TT'^2 = AT'^2 + (2AT')^2 = AT'^2 + 4AT'^2 = 5AT'^2.
TA = AT'√5.
Pada segitiga CTT', TC^2 = CT'^2 + TT'^2 = CT'^2 + (2AT')^2.
CT' = BC√3/2. AT' = BC/(2√3).
TC^2 = (BC√3/2)^2 + (2 * BC/(2√3))^2 = (3BC^2/4) + (BC^2/3) = BC^2 (3/4 + 1/3) = BC^2 ((9+4)/12) = 13BC^2/12.
TC = BC√(13/12).

Sekarang kita punya sisi-sisi segitiga ATC:
TA = AT'√5 = (BC/(2√3))√5 = BC√5/(2√3).
TC = BC√(13/12) = BC√13/(2√3).
AC = 2BC/√3.

Gunakan aturan kosinus pada segitiga ATC untuk mencari cos(∠ATC).
AC^2 = TA^2 + TC^2 - 2 * TA * TC * cos(∠ATC)
(2BC/√3)^2 = (BC√5/(2√3))^2 + (BC√13/(2√3))^2 - 2 * (BC√5/(2√3)) * (BC√13/(2√3)) * cos(∠ATC)
4BC^2/3 = 5BC^2/12 + 13BC^2/12 - 2 * BC^2 * √(65)/12 * cos(∠ATC)
4BC^2/3 = 18BC^2/12 - (BC^2√65)/6 * cos(∠ATC)
4BC^2/3 = 3BC^2/2 - (BC^2√65)/6 * cos(∠ATC)

Bagi kedua sisi dengan BC^2:
4/3 = 3/2 - (√65)/6 * cos(∠ATC)
(√65)/6 * cos(∠ATC) = 3/2 - 4/3
(√65)/6 * cos(∠ATC) = (9 - 8)/6
(√65)/6 * cos(∠ATC) = 1/6
√65 * cos(∠ATC) = 1
cos(∠ATC) = 1/√65

Sekarang kita cari sin(∠ATC) menggunakan identitas sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1.
sin^2(∠ATC) = 1 - cos^2(∠ATC)
sin^2(∠ATC) = 1 - (1/√65)^2
sin^2(∠ATC) = 1 - 1/65
sin^2(∠ATC) = 64/65
sin(∠ATC) = √(64/65) = 8/√65.

Periksa kembali perhitungan.
Alternatif: Gunakan vektor.
Asumsikan T' = (0,0).
Karena AC ⊥ BD, kita bisa menempatkan A di sumbu y positif dan C di sumbu y negatif, serta B dan D di sumbu x.
AT' = a, CT' = c, BT' = d.

A = (0, a)
C = (0, -c)
B = (d, 0)
D = (-d, 0)

Karena ABCD layang-layang, AB = AD dan CB = CD.
AB^2 = d^2 + a^2
AD^2 = (-d)^2 + a^2 = d^2 + a^2
CB^2 = d^2 + (-c)^2 = d^2 + c^2
CD^2 = (-d)^2 + (-c)^2 = d^2 + c^2

Sudut A = 120°. Gunakan aturan kosinus pada segitiga ABD.
AB=AD.
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB AD cos(120°)
BD = 2d.
(2d)^2 = 2 AB^2 - 2 AB^2 (-1/2)
4d^2 = 2 AB^2 + AB^2
4d^2 = 3 AB^2
4d^2 = 3 (d^2 + a^2)
4d^2 = 3d^2 + 3a^2
d^2 = 3a^2 => d = a√3.

Sudut C = 60°. Gunakan aturan kosinus pada segitiga CBD.
CB=CD.
BD^2 = CB^2 + CD^2 - 2 CB CD cos(60°)
(2d)^2 = 2 CB^2 - 2 CB^2 (1/2)
4d^2 = 2 CB^2 - CB^2
4d^2 = CB^2
4(3a^2) = d^2 + c^2
12a^2 = 3a^2 + c^2
c^2 = 9a^2 => c = 3a.

Jadi, AT' = a, CT' = 3a, BT' = a√3.

T' = (0,0,0)
A = (0, a, 0)
C = (0, -3a, 0)
B = (a√3, 0, 0)
D = (-a√3, 0, 0)

TT' = 2AT' => T memiliki jarak 2a dari T'.
T bisa berada di atas atau di bawah bidang alas.
Misalkan T = (0, 0, 2a).

TA = A - T = (0, a, -2a)
TC = C - T = (0, -3a, -2a)

TA · TC = |TA| |TC| cos(∠ATC)
TA · TC = (0)(0) + (a)(-3a) + (-2a)(-2a) = -3a^2 + 4a^2 = a^2.

|TA| = √(0^2 + a^2 + (-2a)^2) = √(a^2 + 4a^2) = √(5a^2) = a√5.
|TC| = √(0^2 + (-3a)^2 + (-2a)^2) = √(9a^2 + 4a^2) = √(13a^2) = a√13.

a^2 = (a√5) (a√13) cos(∠ATC)
a^2 = a^2 √65 cos(∠ATC)
1 = √65 cos(∠ATC)
cos(∠ATC) = 1/√65.

sin^2(∠ATC) = 1 - (1/√65)^2 = 1 - 1/65 = 64/65.
sin(∠ATC) = √(64/65) = 8/√65.