Hitunglah penjumlahan semua koefisien yang mengandung y dan

Jumlah koefisien yang mengandung y dan z adalah -33.

Pembahasan

Untuk menghitung penjumlahan semua koefisien yang mengandung y dan z pada penjabaran polinomial (x-y-2z)^5, kita dapat menggunakan Teorema Binomial.

Penjabaran dari (a+b+c)^n adalah $\sum_{k_1+k_2+k_3=n} \frac{n!}{k_1! k_2! k_3!} a^{k_1} b^{k_2} c^{k_3}$.
Dalam kasus ini, a = x, b = -y, c = -2z, dan n = 5.

Kita mencari koefisien dari suku-suku yang mengandung y dan z. Ini berarti kita mencari suku-suku di mana pangkat dari y dan z tidak nol. Pangkat dari x bisa nol atau lebih.

Koefisien dari suku $x^{k_1} (-y)^{k_2} (-2z)^{k_3}$ adalah $\frac{5!}{k_1! k_2! k_3!} (1)^{k_1} (-1)^{k_2} (-2)^{k_3}$.

Kita perlu menjumlahkan koefisien-koefisien ini untuk semua kombinasi $k_1, k_2, k_3$ di mana $k_1 + k_2 + k_3 = 5$ dan $k_2 
e 0$, $k_3 
e 0$.

Namun, ada cara yang lebih mudah. Jika kita ingin jumlah koefisien dari suku-suku yang mengandung y dan z, kita bisa mempertimbangkan nilai x = 1.

Dengan mensubstitusikan x = 1 ke dalam polinomial, kita mendapatkan (1 - y - 2z)^5.
Sekarang kita perlu mencari jumlah koefisien dari suku-suku yang mengandung y dan z pada ekspansi ini.

Ini masih cukup rumit. Mari kita gunakan pendekatan lain. Jika kita ingin menjumlahkan semua koefisien kecuali yang hanya memiliki x, kita bisa mensubstitusikan y = 1 dan z = 1, lalu kurangi dengan koefisien suku yang hanya memiliki x.

Suku yang hanya memiliki x adalah ketika $k_2=0$ dan $k_3=0$. Maka $k_1=5$. Suku tersebut adalah $x^5$, dengan koefisien $\frac{5!}{5!0!0!} x^5 (-y)^0 (-2z)^0 = 1 	imes x^5 	imes 1 	imes 1 = x^5$. Koefisiennya adalah 1.

Jika kita substitusikan y=1 dan z=1 ke dalam (x-y-2z)^5, kita mendapatkan (x-1-2)^5 = (x-3)^5.
Penjabaran (x-3)^5 adalah $\sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} x^{5-k} (-3)^k$.
Jumlah semua koefisiennya adalah $(1-3)^5 = (-2)^5 = -32$.
Ini adalah jumlah dari semua koefisien pada ekspansi (x-y-2z)^5 jika kita mengganti y dengan 1 dan z dengan 1. Ini bukan yang kita cari.

Mari kita kembali ke definisi: menjumlahkan semua koefisien yang mengandung y dan z. Ini berarti kita mencari jumlah koefisien dari suku-suku $x^{k_1} y^{k_2} z^{k_3}$ di mana $k_2 
e 0$ dan $k_3 
e 0$, dan $k_1+k_2+k_3=5$.

Cara yang lebih tepat adalah dengan memisahkan suku yang hanya mengandung x.
Kita tahu jumlah semua koefisien dari (x-y-2z)^5 adalah $(1-1-2)^5 = (-2)^5 = -32$.
Suku yang hanya mengandung x adalah suku saat $k_2=0$ dan $k_3=0$, yaitu $k_1=5$. Suku tersebut adalah $x^5$, dan koefisiennya adalah 1.

Jumlah koefisien yang mengandung y atau z atau keduanya adalah jumlah total koefisien dikurangi koefisien yang tidak mengandung y dan z (yaitu, hanya mengandung x).
Jumlah koefisien yang mengandung y atau z atau keduanya = -32 - 1 = -33.

Ini masih belum spesifik