Bayangan garis x+3 y=2 oleh transformasi yang bersesuaian

Bayangan garisnya adalah y = -2.

Pembahasan

Soal ini melibatkan transformasi geometri pada sebuah garis.
Transformasi terdiri dari dua tahap:
1.  Transformasi matriks T1 = [[0, -1], [1, 3]]
2.  Rotasi sebesar 180 derajat dengan pusat O(0,0).

**Tahap 1: Transformasi oleh matriks T1**
Garis awal adalah x + 3y = 2.
Misalkan titik (x, y) ditransformasikan menjadi (x', y') oleh matriks T1.
[[x'], [y']] = [[0, -1], [1, 3]] * [[x], [y]]
x' = -y
y' = x + 3y

Dari hubungan ini, kita dapatkan:
y = -x'
x = y' - 3y = y' - 3(-x') = y' + 3x'

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan garis awal:
(y' + 3x') + 3(-x') = 2
y' + 3x' - 3x' = 2
y' = 2

Jadi, setelah transformasi pertama, bayangan garisnya adalah y' = 2.

**Tahap 2: Rotasi sebesar 180 derajat**
Matriks untuk rotasi 180 derajat adalah R = [[cos(180), -sin(180)], [sin(180), cos(180)]] = [[-1, 0], [0, -1]].
Misalkan titik (x', y') dari tahap 1 ditransformasikan lagi menjadi (x'', y'') oleh rotasi 180 derajat.
[[x''], [y'']] = [[-1, 0], [0, -1]] * [[x'], [y']]
x'' = -x'
y'' = -y'

Kita tahu dari tahap 1 bahwa y' = 2.
Maka:
x'' = -x'
y'' = -(2) = -2

Sekarang kita perlu mencari hubungan antara x'' dan y'' yang merupakan persamaan garis bayangan akhir.
Dari y'' = -2, ini adalah persamaan garis horizontal.

Perhatikan kembali hubungan x' = -y dan y' = x + 3y.
Kita punya y' = 2.
Jadi, x + 3y = 2.

Sekarang terapkan rotasi 180 derajat pada garis x + 3y = 2.
Rumus umum untuk rotasi 180 derajat pada garis Ax + By + C = 0 adalah: Ax'' + By'' + C = 0, di mana x'' = -x dan y'' = -y.
Jadi, A(-x) + B(-y) + C = 0
-Ax - By + C = 0
Atau Ax + By - C = 0.

Dalam kasus ini, garisnya adalah x + 3y - 2 = 0.
Maka A=1, B=3, C=-2.
Setelah rotasi 180 derajat, persamaan menjadi:
1(x'') + 3(y'') - (-2) = 0
x'' + 3y'' + 2 = 0.

Jadi, bayangan garis x + 3y = 2 setelah rotasi 180 derajat adalah x + 3y + 2 = 0.

Namun, soal menyatakan "Bayangan garis x+3y=2 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (0 -1; 1 3), dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 180".

Kita sudah mendapatkan bayangan setelah transformasi matriks adalah y' = 2.
Sekarang, bayangan y' = 2 ini dirotasi 180 derajat.
Misalkan titik pada garis y' = 2 adalah (x', 2).
Setelah rotasi 180 derajat, titiknya menjadi (x'', y'') di mana:
x'' = -x'
y'' = -y' = -2.

Karena x' bisa berupa nilai apa saja (karena y'=2 adalah garis horizontal), maka x'' juga bisa berupa nilai apa saja.
Jadi, hasil transformasinya adalah garis y'' = -2.

Dalam bentuk umum, bayangan garisnya adalah y = -2 atau x + 3y = 2 jika dibaca terbalik.
Jika kita tulis ulang y'' = -2 menjadi bentuk Ax + By + C = 0, maka 0x + 1y + 2 = 0.

Mari kita periksa kembali.
Transformasi pertama memetakan (x,y) ke (x',y') = (-y, x+3y).
Dari x+3y=2, kita dapatkan y' = 2.
Sekarang rotasi 180 derajat memetakan (x',y') ke (x'',y'') = (-x', -y').
Karena y'=2, maka y'' = -2.
Karena x' bisa berapa saja, maka x'' bisa berapa saja.
Jadi, bayangan garisnya adalah y'' = -2.

Dalam notasi x dan y, persamaan garis bayangannya adalah y = -2.