Bentuk sederhana dari 1-2^1+2.2^2+3.2^3+...+(2018).2^(2018)

2017 * 2^2019 + 3

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk 1 - 2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + (2018).2^(2018), kita bisa mengamati polanya. Misalkan S = 1 - 2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + (2018).2^(2018).

Ini adalah bentuk deret aritmatika-geometri. Namun, cara yang lebih umum untuk menyelesaikan soal seperti ini adalah dengan pendekatan manipulasi deret.

Misalkan kita punya deret:
S = 1 - 2 + 2(4) + 3(8) + ... + 2018(2^2018)
S = 1 - 2 + 8 + 24 + ... + 2018 * 2^2018

Cara lain untuk melihatnya:
Misalkan S = 1 - 2 + 2 	imes 2^2 + 3 	imes 2^3 + 	ext{…} + 2018 	imes 2^{2018}

Perhatikan deret berikut:
S = 1 + 
∑_{n=1}^{2018} n 	imes 2^n

Misalkan J = ∑_{n=1}^{2018} n 	imes 2^n = 1 	imes 2^1 + 2 	imes 2^2 + 3 	imes 2^3 + 	ext{…} + 2018 	imes 2^{2018}

Kalikan J dengan 2:
2J = 1 	imes 2^2 + 2 	imes 2^3 + 3 	imes 2^4 + 	ext{…} + 2018 	imes 2^{2019}

Kurangkan 2J dari J:
J - 2J = (1 	imes 2^1 + 2 	imes 2^2 + 	ext{…} + 2018 	imes 2^{2018}) - (1 	imes 2^2 + 2 	imes 2^3 + 	ext{…} + 2018 	imes 2^{2019})
-J = 2^1 + (2-1)2^2 + (3-2)2^3 + 	ext{…} + (2018-2017)2^{2018} - 2018 	imes 2^{2019}
-J = 2 + 2^2 + 2^3 + 	ext{…} + 2^{2018} - 2018 	imes 2^{2019}

Ini adalah deret geometri dengan a=2, r=2, dan n=2018 suku.
Jumlah deret geometri = a(r^n - 1)/(r-1)
Jumlah = 2(2^{2018} - 1)/(2-1) = 2(2^{2018} - 1) = 2^{2019} - 2

Jadi, -J = (2^{2019} - 2) - 2018 	imes 2^{2019}
-J = 2^{2019} - 2 - 2018 	imes 2^{2019}
-J = (1 - 2018) 	imes 2^{2019} - 2
-J = -2017 	imes 2^{2019} - 2
J = 2017 	imes 2^{2019} + 2

Sekarang kembali ke S:
S = 1 + J
S = 1 + (2017 	imes 2^{2019} + 2)
S = 2017 	imes 2^{2019} + 3

Jadi, bentuk sederhana dari 1 - 2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + (2018).2^(2018) adalah 2017 * 2^2019 + 3.