Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus ABCD.EFGH

90 derajat

Pembahasan

Pada kubus ABCD.EFGH, diagonal BG dan FH adalah diagonal ruang yang saling bersilangan. Untuk mencari besar sudut di antara keduanya, kita bisa memisalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.

Kita dapat menggunakan vektor untuk menyelesaikannya. Misalkan titik B berada di titik asal (0, 0, 0).

Koordinat titik:
B = (0, 0, 0)
G = (a, a, a)
F = (a, a, 0)
H = (0, a, 0)

Jika kita mengambil titik B sebagai acuan, maka vektor BG adalah G - B = (a, a, a).
Vektor FH adalah H - F = (0 - a, a - a, 0 - 0) = (-a, 0, 0).

Namun, sudut dihitung di antara dua vektor yang bertemu di satu titik. Mari kita pindahkan titik H sehingga bertemu dengan B.
Alternatif lain, kita bisa melihatnya dari sudut pandang geometris. Diagonal BG menghubungkan B ke G. Diagonal FH menghubungkan F ke H.

Perhatikan diagonal BD dan AC pada bidang alas ABCD. Kedua diagonal ini tegak lurus. Panjangnya adalah a\sqrt{2}.

Sekarang, perhatikan diagonal FH pada bidang atas EFGH. Diagonal FH sama panjangnya dengan diagonal BD, yaitu a\sqrt{2}, dan sejajar dengan BD.

Kita bisa memvisualisasikan diagonal BG. Sudut yang dibentuk oleh BG dengan rusuk AB adalah \arctan(\frac{a\sqrt{2}}{a}) = \arctan(\sqrt{2}).

Untuk mencari sudut antara BG dan FH, kita bisa menggunakan pergeseran. Bidang ADGF sejajar dengan bidang BCHE. Diagonal FH sejajar dengan diagonal BD.

Mari kita gunakan vektor dengan titik acuan yang sama, misalnya titik A.
A = (0, 0, 0)
B = (a, 0, 0)
C = (a, a, 0)
D = (0, a, 0)
E = (0, 0, a)
F = (a, 0, a)
G = (a, a, a)
H = (0, a, a)

Vektor BG = G - B = (a - a, a - 0, a - 0) = (0, a, a)
Vektor FH = H - F = (0 - a, a - 0, a - a) = (-a, 0, 0)

Dot product BG \cdot FH = (0)(-a) + (a)(0) + (a)(0) = 0.

Karena dot product-nya adalah 0, maka kedua vektor tersebut tegak lurus. Besar sudut antara diagonal BG dan FH adalah 90 derajat atau \pi/2 radian.