Besar sudut antara ruang garis AG dan bidang EFGH pada

√6 / 3

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara ruang garis AG dan bidang EFGH pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu mengidentifikasi vektor-vektor yang terlibat dan menggunakan konsep proyeksi.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'.
Kita dapat menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan titik A = (0, 0, 0).
Maka:
E = (0, s, 0)
F = (s, s, 0)
G = (s, 0, 0)
H = (0, 0, 0)

Koordinat titik A = (0, 0, 0)
Koordinat titik G = (s, s, 0)

Ruang garis AG dapat direpresentasikan oleh vektor AG = G - A = (s, s, 0).

Bidang EFGH terletak pada bidang xy (z=0).

Sudut (α) antara garis AG dan bidang EFGH adalah sudut antara vektor AG dan proyeksinya pada bidang EFGH.

Proyeksi vektor AG pada bidang EFGH (yang merupakan bidang xy) adalah vektor yang sama, yaitu AG = (s, s, 0). Ini karena garis AG sudah terletak pada bidang xy jika kita menempatkan titik A di (0,0,0) dan titik E, F, G, H pada bidang z=0. Namun, dalam konteks kubus ABCD.EFGH, bidang EFGH adalah bidang alas (misal z=0), dan AG adalah diagonal ruang.

Mari kita perbaiki penempatan koordinat agar sesuai dengan konvensi kubus:
Misalkan:
A = (0, 0, 0)
B = (s, 0, 0)
C = (s, s, 0)
D = (0, s, 0)
E = (0, 0, s)
F = (s, 0, s)
G = (s, s, s)
H = (0, s, s)

Titik A = (0, 0, 0)
Titik G = (s, s, s)
Vektor AG = G - A = (s, s, s)

Bidang EFGH memiliki titik-titik:
E = (0, 0, s)
F = (s, 0, s)
G = (s, s, s)
H = (0, s, s)

Bidang EFGH adalah bidang yang sejajar dengan bidang xy, dengan ketinggian z = s. Vektor normal untuk bidang EFGH adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Kita bisa ambil vektor normal $\vec{n}$ = (0, 0, 1) (arah sumbu z positif).

Sudut (α) antara garis AG dan bidang EFGH adalah sudut antara vektor AG dan bidang tersebut. Kita dapat menghitung sudut (β) antara vektor AG dan vektor normal bidang $\vec{n}$. Hubungan antara α dan β adalah α = 90° - β.

Kita gunakan rumus:
$\|\vec{AG} \| = \sqrt{s^2 + s^2 + s^2} = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$
$\|\vec{n}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

$\|\vec{AG} \cdot \vec{n}\| = \| (s, s, s) \cdot (0, 0, 1) \| = \| s(0) + s(0) + s(1) \| = \| s \| = s$

$\cos \beta = \frac{\|\vec{AG} \cdot \vec{n}\|}{\|\vec{AG}\| \|\vec{n}\|} = \frac{s}{s\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Karena α = 90° - β, maka $\cos \alpha = \cos(90° - \beta) = \sin \beta$.
Jika $\cos \beta = 1/\sqrt{3}$, maka kita bisa mencari $\sin \beta$ menggunakan identitas $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.
$\,\sin^2 \beta = 1 - (1/\sqrt{3})^2 = 1 - 1/3 = 2/3$
$\,\sin \beta = \sqrt{2/3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Jadi, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Cara lain: Proyeksi AG pada bidang EFGH.
Titik A = (0,0,0). Bidang EFGH adalah z=s. Proyeksi titik A pada bidang EFGH adalah A' = (0,0,s) (yang merupakan titik E).
Titik G = (s,s,s). Proyeksi titik G pada bidang EFGH adalah G sendiri (karena G sudah di bidang EFGH). Vektor proyeksi = G - A' = (s, s, s) - (0, 0, s) = (s, s, 0).
Ini adalah proyeksi AG ke bidang z=s. Yang kita butuhkan adalah proyeksi ke bidang EFGH.

Jika kita lihat kubus dari atas (proyeksi pada bidang xy), maka: 
A=(0,0), G=(s,s). Proyeksi AG adalah AC. Namun, ini bukan proyeksi pada bidang EFGH.

Perhatikan bahwa garis AG membentuk sudut dengan bidang EFGH. Proyeksi garis AG pada bidang EFGH adalah garis EG.

Perhatikan segitiga siku-siku AEG (dengan siku-siku di E).
AE = s (tinggi kubus)
EG = diagonal bidang alas = $s\sqrt{2}$
AG = diagonal ruang = $s\sqrt{3}$

Sudut antara AG dan bidang EFGH adalah sudut antara AG dan proyeksinya pada bidang tersebut, yaitu EG. Sudutnya adalah ∠AGE.
Dalam segitiga siku-siku AEG:
$\,\cos(\angle AGE) = \frac{AE}{AG} = \frac{s}{s\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Ini adalah sudut antara AG dan AE (rusuk tegak).

Sudut antara AG dan bidang EFGH adalah sudut antara AG dan EG. Mari kita pakai $\alpha$ untuk sudut ini.
Dalam segitiga siku-siku AEG:
$\,\sin(\angle AGE) = \frac{EG}{AG} = \frac{s\sqrt{2}}{s\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Sudut yang ditanyakan adalah sudut antara garis AG dan bidang EFGH. Proyeksi titik A pada bidang EFGH adalah titik E. Proyeksi titik G pada bidang EFGH adalah titik G sendiri. Jadi, proyeksi garis AG pada bidang EFGH adalah garis EG.
Sudut antara garis AG dan bidang EFGH adalah sudut antara AG dan EG, yaitu ∠AGE.

Dalam segitiga siku-siku AEG:
$\,\cos(\angle AGE) = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{EG}{AG} = \frac{s\sqrt{2}}{s\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Jika cos(∠AGE) = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, maka nilai cos α = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Mari kita pastikan kembali. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut terkecil antara garis tersebut dan garis manapun yang terletak pada bidang tersebut dan melalui titik potong garis dan bidang. Titik potong AG dan bidang EFGH adalah G.
Jadi kita cari sudut antara AG dan garis di bidang EFGH yang melalui G.
Salah satu garis di bidang EFGH yang melalui G adalah diagonal EG.
Kita perlu sudut antara AG dan EG.
Dalam segitiga AEG, siku-siku di E:
AE = s
EG = $s\sqrt{2}$
AG = $s\sqrt{3}$

Sudut antara AG dan EG adalah ∠AGE.
$\,\cos(\angle AGE) = \frac{EG}{AG} = \frac{s\sqrt{2}}{s\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Jadi, nilai cos α adalah $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ atau $\frac{\sqrt{6}}{3}$.