Biaya produksi kain batik sepanjang x meter dinyatakan

30 meter

Pembahasan

Untuk mencari panjang kain batik yang diproduksi agar diperoleh laba maksimum, kita perlu mendefinisikan fungsi laba terlebih dahulu. Laba adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya produksi.

Diketahui:
Biaya produksi kain batik sepanjang x meter: B(x) = (1/3 x^2 - 10x + 25) ribu rupiah.
Harga jual kain batik sepanjang x meter: H(x) = (50x - 2/3 x^2) ribu rupiah.

Fungsi Pendapatan Total (P(x)) adalah hasil perkalian harga jual per meter dengan panjang kain, namun dalam soal ini, H(x) sudah menyatakan total harga jual untuk x meter kain. Jadi, P(x) = H(x) = (50x - 2/3 x^2) ribu rupiah.

Fungsi Laba (L(x)) adalah Pendapatan Total dikurangi Biaya Produksi:
L(x) = P(x) - B(x)
L(x) = (50x - 2/3 x^2) - (1/3 x^2 - 10x + 25)
L(x) = 50x - 2/3 x^2 - 1/3 x^2 + 10x - 25
L(x) = (-2/3 - 1/3) x^2 + (50 + 10)x - 25
L(x) = (-3/3) x^2 + 60x - 25
L(x) = -x^2 + 60x - 25

Untuk mencari laba maksimum, kita perlu mencari nilai x ketika turunan pertama dari fungsi laba (L'(x)) sama dengan nol. Ini karena titik maksimum atau minimum suatu fungsi terjadi pada saat gradiennya (turunannya) adalah nol.

Cari turunan pertama L(x):
L'(x) = d/dx (-x^2 + 60x - 25)
L'(x) = -2x + 60

Set L'(x) = 0 untuk mencari nilai x:
-2x + 60 = 0
-2x = -60
x = -60 / -2
x = 30

Untuk memastikan bahwa x = 30 adalah titik maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua. Jika turunan kedua negatif, maka itu adalah titik maksimum.
Cari turunan kedua L(x):
L''(x) = d/dx (-2x + 60)
L''(x) = -2

Karena L''(30) = -2 (negatif), maka pada x = 30, laba yang diperoleh adalah maksimum.

Jadi, panjang kain batik yang diproduksi agar diperoleh laba maksimum adalah 30 meter.