Bilangan asli k disebut keras jika memeuhi sifat : tidak

Terdapat 26 bilangan keras di dalam himpunan {1, 2, 3, ..., 100}.

Pembahasan

Bilangan asli keras didefinisikan sebagai bilangan asli k yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a + b + ab, di mana a dan b adalah bilangan asli. Untuk menentukan banyaknya bilangan keras dalam himpunan {1, 2, 3, ..., 100}, kita perlu mencari bilangan yang TIDAK dapat dinyatakan dalam bentuk tersebut. Dengan sedikit manipulasi aljabar, kita dapat melihat bahwa a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1. Jadi, bilangan k TIDAK keras jika k = (a+1)(b+1) - 1, atau k+1 = (a+1)(b+1). Karena a dan b adalah bilangan asli, maka a+1 >= 2 dan b+1 >= 2. Ini berarti k+1 haruslah bilangan komposit yang dapat dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan yang lebih besar atau sama dengan 2. Dengan kata lain, bilangan keras adalah bilangan k sedemikian sehingga k+1 adalah bilangan prima. Kita perlu menghitung berapa banyak bilangan k dalam {1, 2, ..., 100} sehingga k+1 adalah bilangan prima. Ini berarti kita perlu mencari bilangan prima p sedemikian sehingga p-1 berada dalam himpunan {1, 2, ..., 100}. Jadi, kita mencari bilangan prima p dalam himpunan {2, 3, ..., 101}. Bilangan prima dalam rentang ini adalah: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101. Jumlah bilangan prima ini adalah 26. Untuk setiap bilangan prima p, bilangan k = p-1 adalah bilangan keras. Jadi, bilangan keras dalam himpunan {1, 2, ..., 100} adalah: 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100. Terdapat 26 bilangan keras di dalam himpunan {1, 2, 3, ..., 100}.