Turunan kedua fungsi f(x) adalah f''(x)=6x-2. Gradien garis

f(x) = x³ - x² + 5x + 4

Pembahasan

Diberikan turunan kedua fungsi f(x) adalah f''(x) = 6x - 2. Gradien garis singgung kurva fungsi f(x) di titik (1, 9) adalah 6. Gradien garis singgung adalah turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu f'(x). Diketahui f'(1) = 6. Untuk mencari f(x), kita perlu mengintegralkan f''(x) dua kali.

Mengintegralkan f''(x) sekali untuk mendapatkan f'(x):
f'(x) = ∫(6x - 2) dx = 3x² - 2x + C1
Karena f'(1) = 6, maka:
6 = 3(1)² - 2(1) + C1
6 = 3 - 2 + C1
6 = 1 + C1
C1 = 5
Jadi, f'(x) = 3x² - 2x + 5.

Mengintegralkan f'(x) untuk mendapatkan f(x):
f(x) = ∫(3x² - 2x + 5) dx = x³ - x² + 5x + C2
Karena kurva fungsi f(x) melalui titik (1, 9), maka f(1) = 9:
9 = (1)³ - (1)² + 5(1) + C2
9 = 1 - 1 + 5 + C2
9 = 5 + C2
C2 = 4
Jadi, fungsi f(x) adalah x³ - x² + 5x + 4.