Buktikan bahwa 2^(4n+3) + 3^(3n+1) habis dibagi 11, untuk

Gunakan induksi matematika. Basis: n=1, 2^7+3^4=209=11*19. Hipotesis: Asumsikan benar untuk k. Langkah: Buktikan untuk k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 2^(4n+3) + 3^(3n+1) habis dibagi 11 untuk setiap bilangan bulat positif n, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, kita periksa apakah 2^(4(1)+3) + 3^(3(1)+1) habis dibagi 11.
2^(4+3) + 3^(3+1) = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209.
Karena 209 = 11 * 19, maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 2^(4k+3) + 3^(3k+1) habis dibagi 11. Ini berarti 2^(4k+3) + 3^(3k+1) = 11m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1, yaitu 2^(4(k+1)+3) + 3^(3(k+1)+1) habis dibagi 11.
2^(4k+4+3) + 3^(3k+3+1) = 2^(4k+7) + 3^(3k+4)
= 2^4 * 2^(4k+3) + 3^3 * 3^(3k+1)
= 16 * 2^(4k+3) + 27 * 3^(3k+1)
Kita dapat menulis ulang ini dengan menggunakan hipotesis induksi (2^(4k+3) = 11m - 3^(3k+1)).
= 16 * (11m - 3^(3k+1)) + 27 * 3^(3k+1)
= 16 * 11m - 16 * 3^(3k+1) + 27 * 3^(3k+1)
= 16 * 11m + (27 - 16) * 3^(3k+1)
= 16 * 11m + 11 * 3^(3k+1)
= 11 * (16m + 3^(3k+1))
Karena (16m + 3^(3k+1)) adalah suatu bilangan bulat, maka 2^(4(k+1)+3) + 3^(3(k+1)+1) habis dibagi 11.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 2^(4n+3) + 3^(3n+1) habis dibagi 11 untuk setiap bilangan bulat positif n.