Nilai dari limit x mendekati tak hingga (1 - 1/x)^x adalah

1/e

Pembahasan

Pertanyaan ini menanyakan nilai dari limit x mendekati tak hingga untuk fungsi (1 - 1/x)^x. Ini adalah bentuk tak tentu dari jenis 1^∞. Untuk menyelesaikannya, kita bisa menggunakan manipulasi logaritma atau definisi bilangan Euler (e).

Metode 1: Menggunakan Definisi Bilangan Euler (e)
Kita tahu bahwa salah satu definisi bilangan Euler adalah e = lim (x→∞) (1 + 1/x)^x.
Fungsi yang diberikan adalah (1 - 1/x)^x. Kita dapat menulis ulang -1/x sebagai 1/(-x). Jadi, fungsi tersebut menjadi (1 + 1/(-x))^x.
Agar sesuai dengan definisi e, kita perlu penyesuaian pada eksponennya. Misalkan y = -x. Ketika x → ∞, maka y → -∞. Namun, definisi e biasanya menggunakan x → ∞. 

Mari kita gunakan bentuk lain yang setara: e = lim (n→∞) (1 + 1/n)^n.
Dalam kasus kita, kita punya (1 - 1/x)^x. Kita dapat menulis ulang ini sebagai [(1 + (-1)/x)]^x.
Jika kita misalkan m = -x, maka x = -m. Ketika x → ∞, m → -∞. Ini tidak langsung cocok.

Mari kita gunakan pendekatan berikut:
Misalkan L = lim (x→∞) (1 - 1/x)^x.
Ambil logaritma natural dari kedua sisi:
ln(L) = ln [lim (x→∞) (1 - 1/x)^x]
Karena fungsi logaritma kontinu, kita bisa memindahkan limit ke dalam:
ln(L) = lim (x→∞) ln [(1 - 1/x)^x]
ln(L) = lim (x→∞) x * ln (1 - 1/x)
Ini adalah bentuk tak tentu ∞ * 0. Kita bisa mengubahnya menjadi bentuk ∞/∞ dengan menulisnya sebagai:
ln(L) = lim (x→∞) [ln (1 - 1/x)] / (1/x)
Sekarang kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital. Turunan dari pembilang adalah:
d/dx [ln (1 - 1/x)] = [1 / (1 - 1/x)] * d/dx (1 - 1/x)
= [1 / (1 - 1/x)] * (1/x^2)
= [x / (x - 1)] * (1/x^2)
= 1 / [x(x - 1)]
Turunan dari penyebut adalah:
d/dx (1/x) = -1/x^2

Menerapkan Aturan L'Hôpital:
ln(L) = lim (x→∞) [1 / (x(x - 1))] / (-1/x^2)
ln(L) = lim (x→∞) [1 / (x^2 - x)] * (-x^2)
ln(L) = lim (x→∞) -x^2 / (x^2 - x)
ln(L) = lim (x→∞) -1 / (1 - 1/x)
ln(L) = -1 / (1 - 0)
ln(L) = -1

Karena ln(L) = -1, maka L = e^(-1) = 1/e.

Metode 2: Menggunakan Hubungan dengan Definisi e
Kita tahu bahwa lim (x→∞) (1 + a/x)^x = e^a.
Dalam kasus ini, kita memiliki (1 - 1/x)^x = (1 + (-1)/x)^x.
Dengan membandingkan dengan bentuk umum, kita dapat melihat bahwa a = -1.
Jadi, limitnya adalah e^(-1) atau 1/e.