Buktikan bahwa 3 + 7 + 11 + ... +(4n -1) = 2n^2 +n berlaku

Terbukti benar menggunakan induksi matematika dengan basis induksi n=1 dan langkah induksi untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 3 + 7 + 11 + ... + (4n - 1) = 2n^2 + n berlaku untuk semua n bilangan asli, kita akan menggunakan prinsip Induksi Matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
   Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
   Sisi kiri: Suku pertama adalah (4(1) - 1) = 3.
   Sisi kanan: 2(1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3.
   Karena sisi kiri = sisi kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
   Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
   3 + 7 + 11 + ... + (4k - 1) = 2k^2 + k

Langkah 3: Langkah Induksi
   Buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu:
   3 + 7 + 11 + ... + (4k - 1) + (4(k+1) - 1) = 2(k+1)^2 + (k+1)

   Kita mulai dari sisi kiri persamaan untuk n = k+1:
   [3 + 7 + 11 + ... + (4k - 1)] + (4(k+1) - 1)
   Menurut hipotesis induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku:
   (2k^2 + k) + (4(k+1) - 1)
   = 2k^2 + k + (4k + 4 - 1)
   = 2k^2 + k + 4k + 3
   = 2k^2 + 5k + 3

   Sekarang, kita ubah sisi kanan persamaan untuk n = k+1:
   2(k+1)^2 + (k+1)
   = 2(k^2 + 2k + 1) + k + 1
   = 2k^2 + 4k + 2 + k + 1
   = 2k^2 + 5k + 3

   Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (2k^2 + 5k + 3), maka pernyataan tersebut benar untuk n = k+1.

Kesimpulan:
   Berdasarkan prinsip Induksi Matematika, terbukti bahwa 3 + 7 + 11 + ... + (4n - 1) = 2n^2 + n berlaku untuk semua n bilangan asli.