Buktikan bahwa:a. n C r = n C n-r b. n C r-1 + n C r = n+1

Identitas kombinasi nCr = nCn-r dan nCr-1 + nCr = n+1Cr dapat dibuktikan menggunakan rumus dasar kombinasi.

Pembahasan

a. Bukti nCr = nCn-r:
Permutasi adalah jumlah cara memilih r elemen dari n elemen yang tersedia dengan memperhatikan urutannya. Rumusnya adalah nPr = n! / (n-r)!

Kombinasi adalah jumlah cara memilih r elemen dari n elemen yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya. Rumusnya adalah nCr = n! / (r! * (n-r)!).

Dengan menggunakan rumus kombinasi:
nCn-r = n! / ((n-r)! * (n - (n-r))!)
nCn-r = n! / ((n-r)! * (n - n + r)!)
nCn-r = n! / ((n-r)! * r!)
Karena nCr = n! / (r! * (n-r)!), maka terbukti bahwa nCr = nCn-r.

b. Bukti nCr-1 + nCr = n+1Cr:
Kita akan menggunakan identitas kombinasi nCr = n! / (r!(n-r)!).

nCr-1 + nCr = [n! / ((r-1)!(n-(r-1))!)] + [n! / (r!(n-r)!)]
nCr-1 + nCr = [n! / ((r-1)!(n-r+1)!)] + [n! / (r!(n-r)!)]
Untuk menjumlahkannya, kita samakan penyebutnya. Penyebut bersama terkecil adalah r!(n-r+1)!.

nCr-1 + nCr = [n! * r / (r!(n-r+1)!)] + [n! * (n-r+1) / (r!(n-r+1)!)]
nCr-1 + nCr = [n! * (r + n - r + 1)] / (r!(n-r+1)!)
nCr-1 + nCr = [n! * (n+1)] / (r!(n-r+1)!)
nCr-1 + nCr = (n+1)! / (r!(n+1-r)!)
Berdasarkan rumus kombinasi, ini sama dengan n+1Cr.
Maka terbukti bahwa nCr-1 + nCr = n+1Cr.