Kelas 11mathGeometri
Buktikan bahwa garis px+qy=r^2 akan berpotongan dengan
Pertanyaan
Buktikan bahwa garis px+qy=r^2 akan berpotongan dengan lingkaran x^2+y^2=r^2 di dua titik jika (p,q) terletak di luar lingkaran.
Solusi
Verified
Terbukti bahwa jika p^2 + q^2 > r^2, maka garis px+qy=r^2 berpotongan di dua titik dengan lingkaran x^2+y^2=r^2.
Pembahasan
Untuk membuktikan bahwa garis px+qy=r^2 akan berpotongan dengan lingkaran x^2+y^2=r^2 di dua titik jika (p,q) terletak di luar lingkaran, kita dapat menggunakan konsep jarak titik ke garis dan sifat garis singgung. Lingkaran x^2+y^2=r^2 berpusat di (0,0) dengan jari-jari r. Garis px+qy=r^2. Jarak dari pusat lingkaran (0,0) ke garis px+qy-r^2=0 diberikan oleh rumus: d = |A*x0 + B*y0 + C| / sqrt(A^2 + B^2) d = |p*0 + q*0 - r^2| / sqrt(p^2 + q^2) d = |-r^2| / sqrt(p^2 + q^2) d = r^2 / sqrt(p^2 + q^2) Agar garis memotong lingkaran di dua titik, jarak dari pusat lingkaran ke garis harus lebih kecil dari jari-jari lingkaran (d < r). r^2 / sqrt(p^2 + q^2) < r Karena r > 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan r: r / sqrt(p^2 + q^2) < 1 r < sqrt(p^2 + q^2) Kuadratkan kedua sisi (karena kedua sisi positif): r^2 < p^2 + q^2 Sekarang, mari kita pertimbangkan posisi titik (p,q). Jika titik (p,q) terletak di luar lingkaran x^2+y^2=r^2, maka jarak titik (p,q) dari pusat (0,0) lebih besar dari jari-jari r. Jarak (p,q) dari (0,0) adalah sqrt(p^2 + q^2). Jadi, jika (p,q) di luar lingkaran, maka: sqrt(p^2 + q^2) > r Kuadratkan kedua sisi: p^2 + q^2 > r^2 Ini adalah kondisi yang sama yang kita dapatkan agar garis memotong lingkaran di dua titik (r^2 < p^2 + q^2). Jadi, jika titik (p,q) terletak di luar lingkaran x^2+y^2=r^2, maka p^2 + q^2 > r^2. Dari kondisi ini, kita dapat menurunkan bahwa jarak dari pusat lingkaran ke garis px+qy=r^2 lebih kecil dari jari-jari lingkaran, yang berarti garis tersebut akan berpotongan dengan lingkaran di dua titik. Bukti: 1. Jarak titik (0,0) ke garis px+qy-r^2=0 adalah d = r^2 / sqrt(p^2 + q^2). 2. Agar garis berpotongan di dua titik, d < r. 3. Ini mengimplikasikan r^2 / sqrt(p^2 + q^2) < r, yang setara dengan r^2 < p^2 + q^2. 4. Kondisi (p,q) terletak di luar lingkaran x^2+y^2=r^2 adalah sqrt(p^2 + q^2) > r, yang setara dengan p^2 + q^2 > r^2. 5. Karena p^2 + q^2 > r^2, maka kondisi r^2 < p^2 + q^2 terpenuhi. 6. Oleh karena itu, garis px+qy=r^2 akan berpotongan dengan lingkaran x^2+y^2=r^2 di dua titik jika (p,q) terletak di luar lingkaran. Jawaban Ringkas: Terbukti bahwa jika p^2 + q^2 > r^2, maka garis px+qy=r^2 berpotongan di dua titik dengan lingkaran x^2+y^2=r^2.
Topik: Lingkaran
Section: Hubungan Garis Dan Lingkaran
Apakah jawaban ini membantu?