Buktikan bahwa hasil dilatasi titik A(x, y) oleh [P(a, b),

Dilatasi titik A(x, y) terhadap pusat P(a, b) dengan faktor skala k menghasilkan bayangan A'(x', y') di mana vektor AP' = k * vektor AP. Dalam bentuk matriks, ini adalah (x'-a y'-b) = (k 0 0 k)(x-a y-b).

Pembahasan

Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek tetapi mempertahankan bentuknya. Dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi (P) dan faktor skala (k).

Misalkan titik A memiliki koordinat (x, y). Titik A' adalah bayangan dari A setelah dilatasi dengan pusat P(a, b) dan faktor skala k.

Rumus umum dilatasi titik A(x, y) terhadap pusat P(a, b) dengan faktor skala k adalah:
A'(x', y')

Pergeseran titik A ke pusat dilatasi P adalah vektor AP = (x-a, y-b).
Setelah didilatasi dengan faktor k, vektor AP' = k * AP.
Dalam bentuk komponen:
(x' - a, y' - b) = k * (x - a, y - b)

Ini dapat ditulis dalam bentuk matriks:
```
[x' - a]
[y' - b]
```
= k * ```
[x - a]
[y - b]
```

Atau jika kita menuliskan matriks 2x2:
```
[x' - a]
[y' - b]
```
= ```
[k  0]
[0  k]
```
 * ```
[x - a]
[y - b]
```

Ini menunjukkan bahwa transformasi dilatasi dengan pusat P(a, b) dan faktor skala k mengubah vektor posisi relatif dari pusat (x-a, y-b) menjadi k kali vektor tersebut, sehingga menghasilkan vektor posisi relatif dari pusat ke bayangan (x'-a, y'-b).

Jadi, terbukti bahwa hasil dilatasi titik A(x, y) oleh [P(a, b), k] adalah (x'-a y'-b) = (k 0 0 k)(x-a y-b).