Buktikan bahwa: lim x->y ((coS 2x -COS 2y)/(x-y)) = -2 sin

Terbukti menggunakan aturan L'Hopital.

Pembahasan

Untuk membuktikan persamaan limit tersebut, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x mendekati y. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c (f(x)/g(x)) menghasilkan bentuk tak tentu (0/0 atau ∞/∞), maka limit tersebut sama dengan lim x->c (f'(x)/g'(x)).

Misalkan f(x) = cos 2x - cos 2y dan g(x) = x - y.
Maka f'(x) = -2 sin 2x dan g'(x) = 1.

Menerapkan aturan L'Hopital:
lim x->y ((-2 sin 2x) / 1)
Substitusikan x = y:
-2 sin 2y

Oleh karena itu, terbukti bahwa lim x->y ((cos 2x - cos 2y)/(x-y)) = -2 sin 2y.