Buktikan bahwa lingkaran x^2+y^2+2x+2y+1=0 dan

Lingkaran bersinggungan di luar di titik (-2/5, -1/5) dengan garis singgung sekutu 3x + 4y + 2 = 0.

Pembahasan

Untuk membuktikan dua lingkaran bersinggungan, kita perlu membandingkan jarak antara pusat kedua lingkaran dengan jumlah atau selisih jari-jari mereka.

Lingkaran 1: x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0
Pusat (a, b): (-2/2, -2/2) = (-1, -1)
Jari-jari (r1): sqrt((-1)^2 + (-1)^2 - 1) = sqrt(1 + 1 - 1) = sqrt(1) = 1

Lingkaran 2: x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0
Pusat (p, q): (4/2, 6/2) = (2, 3)
Jari-jari (r2): sqrt(2^2 + 3^2 - (-3)) = sqrt(4 + 9 + 3) = sqrt(16) = 4

Jarak antara kedua pusat (d): sqrt((2 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Jumlah jari-jari: r1 + r2 = 1 + 4 = 5
Selisih jari-jari: |r1 - r2| = |1 - 4| = 3

Karena jarak antara kedua pusat (d) sama dengan jumlah jari-jari (r1 + r2 = 5), maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan di luar.

Untuk mencari titik singgung, kita dapat menggunakan perbandingan jarak:
Titik singgung (x, y) = ( (r2*x1 + r1*x2) / (r1+r2), (r2*y1 + r1*y2) / (r1+r2) )
Titik singgung = ( (4*(-1) + 1*2) / (1+4), (4*(-1) + 1*3) / (1+4) )
Titik singgung = ( (-4 + 2) / 5, (-4 + 3) / 5 )
Titik singgung = (-2/5, -1/5)

Untuk persamaan garis singgung sekutu, karena lingkaran bersinggungan di luar, kita dapat mengurangkan kedua persamaan lingkaran:
(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2-4x-6y-3) = 0
x^2+y^2+2x+2y+1 - x^2-y^2+4x+6y+3 = 0
6x + 8y + 4 = 0
3x + 4y + 2 = 0

Jadi, kedua lingkaran bersinggungan di luar di titik (-2/5, -1/5), dan persamaan garis singgung sekutunya adalah 3x + 4y + 2 = 0.