Buktikan bahwa luas daerah irisan dua lingkaran yang saling

Luas irisan dua lingkaran yang saling tegak lurus dengan jari-jari sama adalah L = (pi-2)/2r^2, dibuktikan dengan menghitung luas dua tembereng yang masing-masing memiliki sudut pusat 90 derajat.

Pembahasan

Untuk membuktikan luas daerah irisan dua lingkaran yang saling tegak lurus dan berjari-jari sama adalah L=(pi-2)/2r^2, kita dapat menggunakan pendekatan berikut:

1.  **Visualisasi:** Bayangkan dua lingkaran dengan jari-jari yang sama (r) yang berpotongan sedemikian rupa sehingga garis singgung di titik potongnya saling tegak lurus. Titik pusat kedua lingkaran dan salah satu titik potongnya akan membentuk sebuah persegi jika kita menganggap jarak antara pusatnya sama dengan jari-jarinya.
2.  **Analisis Geometri:** Karena kedua lingkaran berjari-jari sama dan saling tegak lurus di titik potongnya, maka jarak antara kedua pusat lingkaran adalah $\sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$.
3.  **Luas Irisan:** Luas daerah irisan dapat dihitung sebagai jumlah luas dua tembereng yang identik. Satu tembereng dibentuk oleh busur salah satu lingkaran dan tali busur yang menghubungkan titik potong.
4.  **Sudut Pusat:** Sudut pusat yang menghadap tali busur tersebut adalah 90 derajat (atau $\pi/2$ radian) karena garis singgung di titik potong tegak lurus.
5.  **Luas Tembereng:** Luas tembereng = Luas juring - Luas segitiga.
    Luas juring = (sudut pusat / 360) * $\pi r^2$ = (90/360) * $\pi r^2$ = $\frac{1}{4} \pi r^2$.
    Luas segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan tali busur = $\frac{1}{2} r \times r = \frac{1}{2} r^2$ (karena sudut di antaranya 90 derajat).
    Jadi, luas satu tembereng = $\frac{1}{4} \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 = r^2 (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2})$.
6.  **Luas Irisan Total:** Karena ada dua tembereng yang identik, maka luas total irisan adalah 2 * Luas satu tembereng = $2 \times r^2 (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = r^2 (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{\pi-2}{2} r^2$.