Buktikan bahwa: n<=2^(n-1) untuk n>=1

Ketaksamaan n <= 2^(n-1) dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketaksamaan n <= 2^(n-1) untuk n >= 1, kita dapat menggunakan metode induksi matematika. Langkah 1: Basis Induksi. Periksa apakah ketaksamaan berlaku untuk n=1. 1 <= 2^(1-1) -> 1 <= 2^0 -> 1 <= 1. Pernyataan ini benar. Langkah 2: Hipotesis Induksi. Asumsikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu k <= 2^(k-1). Langkah 3: Langkah Induksi. Kita perlu membuktikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk k+1, yaitu k+1 <= 2^((k+1)-1) atau k+1 <= 2^k. Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa k <= 2^(k-1). Mari kita manipulasi ketaksamaan ini untuk mendapatkan bentuk yang kita inginkan. Kita ingin menunjukkan bahwa k+1 <= 2^k. Kita tahu bahwa 2^k = 2 * 2^(k-1). Karena k <= 2^(k-1), maka 2k <= 2 * 2^(k-1) = 2^k. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa k+1 <= 2k. Ketaksamaan ini berlaku jika k >= 1. Karena kita memulai dari n=1, maka k pasti lebih besar atau sama dengan 1. Jadi, kita punya k+1 <= 2k <= 2^k. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa k+1 <= 2^k. Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, ketaksamaan n <= 2^(n-1) berlaku untuk semua bilangan bulat n >= 1.