Buktikan bahwa: sin 2theta=(2tan theta)/(1+tan^2(theta))

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kanan menggunakan definisi tan dan identitas trigonometri dasar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$, kita dapat memulai dari sisi kanan identitas dan mengubahnya menjadi bentuk yang sama dengan sisi kiri.

Sisi kanan: $\frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

Kita tahu bahwa $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ dan identitas $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$.

Mengganti $\tan \theta$ dengan $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$:
$\frac{2(\frac{\sin \theta}{\cos \theta})}{1 + (\frac{\sin \theta}{\cos \theta})^2} = \frac{\frac{2\sin \theta}{\cos \theta}}{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}$

Untuk menyederhanakan penyebut, kita samakan penyebutnya:
$1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

Kita tahu identitas $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$. Jadi, penyebutnya menjadi:
$\frac{1}{\cos^2 \theta}$

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam persamaan:
$\frac{\frac{2\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}}}$

Untuk membagi pecahan, kita kalikan dengan kebalikan dari penyebut:
$\frac{2\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos^2 \theta}{1}$

Sederhanakan dengan mencoret satu $\cos \theta$:
$2\sin \theta \cos \theta$

Ini adalah identitas ganda untuk sinus, yaitu $\sin 2\theta$.

Jadi, $\frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$.

Pembuktian selesai.