Buktikan bahwa untuk setiap ne A, 2^(3n)-1 habis dibagi 7.

Dengan menggunakan induksi matematika, terbukti bahwa 2^(3n) - 1 habis dibagi 7 untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n (n ∈ A), 2^(3n) - 1 habis dibagi 7 menggunakan prinsip induksi matematika.

**Langkah 1: Basis Induksi**
Kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1:
2^(3*1) - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7.
Karena 7 habis dibagi 7, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

**Langkah 2: Langkah Induksi**
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 2^(3k) - 1 habis dibagi 7. Ini berarti 2^(3k) - 1 = 7m untuk suatu bilangan bulat m.
Dari asumsi ini, kita dapat menulis:
2^(3k) = 7m + 1

Sekarang, kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Artinya, kita harus membuktikan bahwa 2^(3(k+1)) - 1 habis dibagi 7.

Perhatikan ekspresi untuk n = k + 1:
2^(3(k+1)) - 1 = 2^(3k + 3) - 1
= 2^(3k) * 2^3 - 1
= 2^(3k) * 8 - 1

Gantikan 2^(3k) dengan (7m + 1) berdasarkan asumsi induksi:
= (7m + 1) * 8 - 1
= 56m + 8 - 1
= 56m + 7
= 7(8m + 1)

Karena (8m + 1) adalah bilangan bulat (karena m adalah bilangan bulat), maka 7(8m + 1) jelas habis dibagi 7.

**Kesimpulan**
Berdasarkan prinsip induksi matematika, karena pernyataan tersebut benar untuk n = 1 (Basis Induksi) dan jika pernyataan tersebut benar untuk n = k maka juga benar untuk n = k + 1 (Langkah Induksi), maka dapat disimpulkan bahwa untuk setiap bilangan asli n, 2^(3n) - 1 habis dibagi 7.