Tentukan nilai limit x -> 0 (f(a+x)-f(a))/x jika:

8

Pembahasan

Limit yang ditanyakan adalah nilai turunan pertama dari fungsi f(x) di titik a. Rumusnya adalah f'(a) = lim x->0 (f(a+x)-f(a))/x.
Diketahui fungsi f(x) = x^3 + x^2 dan a = -2.

Langkah 1: Cari f(a) atau f(-2).
f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 = -8 + 4 = -4.

Langkah 2: Cari f(a+x) atau f(-2+x).
f(-2+x) = (-2+x)^3 + (-2+x)^2
= (x-2)^3 + (x-2)^2
= (x^3 - 3*x^2*2 + 3*x*2^2 - 2^3) + (x^2 - 4x + 4)
= (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + (x^2 - 4x + 4)
= x^3 - 5x^2 + 8x - 4

Langkah 3: Substitusikan f(a+x) dan f(a) ke dalam rumus limit.
lim x->0 (f(-2+x)-f(-2))/x
= lim x->0 ((x^3 - 5x^2 + 8x - 4) - (-4))/x
= lim x->0 (x^3 - 5x^2 + 8x - 4 + 4)/x
= lim x->0 (x^3 - 5x^2 + 8x)/x

Langkah 4: Faktorkan x dari pembilang.
= lim x->0 x(x^2 - 5x + 8)/x

Langkah 5: Batalkan x.
= lim x->0 (x^2 - 5x + 8)

Langkah 6: Substitusikan x = 0.
= (0)^2 - 5(0) + 8
= 8

Jadi, nilai limitnya adalah 8.