Buktikan dengan induksi matematika bahwa n^3-n habis dibagi

Pernyataan terbukti benar dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa n^3 - n habis dibagi 6 dengan induksi matematika untuk n >= 2, kita ikuti langkah-langkah berikut:

1. Basis Induksi: Periksa apakah pernyataan tersebut benar untuk n = 2.
   Untuk n = 2, n^3 - n = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6.
   Karena 6 habis dibagi 6, pernyataan tersebut benar untuk n = 2.

2. Hipotesis Induksi: Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat k >= 2. Artinya, k^3 - k habis dibagi 6. Maka, kita dapat menulis k^3 - k = 6m untuk suatu bilangan bulat m.

3. Langkah Induksi: Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Kita perlu menunjukkan bahwa (k+1)^3 - (k+1) habis dibagi 6.
   (k+1)^3 - (k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k + 1)
                  = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1
                  = k^3 + 3k^2 + 2k
                  = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k + k
                  = (k^3 - k) + 3k^2 + 4k

   Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa k^3 - k = 6m.
   Jadi, (k+1)^3 - (k+1) = 6m + 3k^2 + 4k.

   Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 3k^2 + 4k habis dibagi 6. Ini tampaknya salah. Mari kita periksa kembali manipulasi aljabar.

   (k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k
   Kita tahu k^3 - k = 6m.
   Jadi, (k+1)^3 - (k+1) = 6m + 3k^2 + 3k
   = 6m + 3k(k+1)

   Perhatikan bahwa k(k+1) adalah hasil kali dua bilangan bulat berurutan. Salah satu dari mereka pasti genap. Oleh karena itu, k(k+1) habis dibagi 2. Ini berarti k(k+1) = 2p untuk suatu bilangan bulat p.

   Maka, 3k(k+1) = 3(2p) = 6p.
   Jadi, 3k(k+1) habis dibagi 6.

   Karena 6m habis dibagi 6 dan 3k(k+1) habis dibagi 6, maka jumlahnya, 6m + 3k(k+1), juga habis dibagi 6.
   Ini membuktikan bahwa (k+1)^3 - (k+1) habis dibagi 6.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa n^3 - n habis dibagi 6 benar untuk semua bilangan bulat n >= 2.